序贯抽样

例如，一个产品抽样检验方案规定按批抽样品20件，若其中不合格品件数不超过 3，则接收该批，否则拒收。在此，抽样个数20是预定的，是固定抽样。若方案规定为：第一批抽出3个，若全为不合格品，拒收该批,若其中不合格品件数为1<3，则第二批再抽3-1个,若全为不合格品，则拒收该批，若其中不合格品数为 2<3-1,则第三批再抽3-1-2个,这样下去,直到抽满20件或抽得 3个不合格品为止。这是一个序贯抽样方案，其效果与前述固定抽样方案相同，但抽样个数平均讲要节省些。此例中，抽样个数是随机的，但有一个不能超过的上限20。有的序贯抽样方案，其可能抽样个数无上限，例如，序贯概率比检验的抽样个数就没有上限。

H.F.道奇和 H.G.罗米格的二次抽样方案(见抽样检验)是较早的一个序贯抽样方案。1945年,C.施坦针对方差未知时估计和检验正态分布的均值 (见数学期望)的问题,提出了一个二次抽样方案。依此方案,在事先给定了>0和0<α><1后，可作出均值的一个置信区间,其置信系数（见区间估计）为1-α ，而长度不超过。可以证明：当方差未知时，具有这种性质的置信区间在固定样本的情况下不可能找到。由此可以看出序贯抽样方案除了可节省抽样量之外,还有一种作用,即为了达到预定的推断可靠程度(这里为置信系数)及精确程度（这里是以区间长度来刻画），有时必须使用序贯抽样。例如，估计一事件的概率(0<<1)，给定ε>0及0<α><1，要找到这样的估计孨,使能以不小于1-α 的概率保证估计的相对误差|(孨-)/|≤ε。可以证明,若用固定抽样方案,事先指定自然数,做次试验,每次观察是否发生,则不论多么大,具有上述性质的孨不存在。但用下述序贯抽样方案可得到这样的孨:作试验,观察是否发生,设到第一次发生时已作了1次试验,计算出。

取其整数部分2,再作2次试验,记2次试验中出现的次数为m,令孨=m/2，则有(|孨-|/≤ε)≥1-α ，而估计孨具有所指定的性质。

第二次世界大战时，为军需验收工作的需要，瓦尔德发展了一种一般性的序贯检验方法，叫序贯概率比检验（简称SPRT）。此法在他的1947年的著作中有系统介绍，其要点如下：设在原假设0和备择假设1之下，随机变量的概率密度函数或概率函数随机变量都已知,且分别为0()及1(),对逐次观测，第次观测的结果记为i，称比值

为样本1, 2,…, n的概率比。在固定抽样方案之下，是先给定自然数,对进行次观测得1,2,…,n，计算。

定出一常数（其值取决于检验水平α）,当n≤时,接受原假设0,否则拒绝0。这样,在n的值与很接近时,0是否被接受的界限过于断然,不大合理。瓦尔德将此修改为:指定两个数,B,假设检验），并在1948年与美国统计学家J.沃尔弗维茨一起，证明了在一切两种错误概率分别不超过α和β的检验类中，上述序贯概率比检验所需平均抽样次数最少。瓦尔德在其著作中也考虑了复合检验的问题，有许多统计学者研究了这种检验。瓦尔德的上述开创性工作，引起了许多统计学者对序贯方法的注意，并继续进行工作，从而使序贯分析形成为数理统计学的一个分支。

除了检验问题以外，序贯方法在其他方面也有不少进展，对一般的统计决策问题，在各次观测结果相互独立的情况下的序贯贝叶斯解的问题，在理论上已有较完整的结果。在点估计方面，对序贯的最小化最大估计的研究有了一些结果。在区间估计方面，关于斯坦的二次抽样，正态均值及一般总体均值和线性模型参数的区间估计，有不少的工作。另外，在数理统计学中有一类在应用上重要的问题，叫选择问题，它要求从若干个分布中挑选出一个在某种意义上的最优者。例如，从若干个具有不同均值的正态分布中，挑选出其均值最大者。关于这个问题也发展了一系列的序贯方法。