对偶空间

设为 在域上的向量空间，定义其对偶空间为由到的所有线性函数的集合。即是的标量线性变换。本身是的向量空间，并且对所有中的及、所有中的、所有中的满足以下加法及标量乘法：

在张量的语言中，的元素被称为反变或逆变（contravariant）向量而V_*的元素被称为共变或协变（covariant）向量、“余向量”或“同向量”（co-vectors），“线性型”或“一形”（one-form）。

如果是有限维的，的维度和V的维度便相等；如果是的基，便应该有相对基，记作：

如果是平面几何向量的空间，便是一组组的平行线。我们能从平行线应用到任何向量产生一个标量。

如果是无限维度，不能产生的基；而的维度比的大。

例如空间的元素是实数列，其拥有很多非零数字。的双对空间是所有实数数列的空间。这些数列被用于元素而产生。

设是线性映射。的转置定义为

   ∀ φ ∈ W*.

对任何向量空间，定义为所有从到的线性映射组成的向量空间。产生从至的单射；这是个同构当且仅当是有限维的。

若 线性映射f表示作其对的基之矩阵 ,则表示作其对的对偶基之转置矩阵。若是另一线性映射，则。

在范畴论的语言里，为任何向量空间取对偶及为任何线性映射取转置都是向量空间范畴的逆变函子。

正如所见，如果拥有有限维度，跟是同构的，但是该同构并不自然；它是依赖于我们开始所用的的基。事实上，任意同构在上定义了一个唯一的非退化的双线性型：

相反地从每个在有限维空间中的非退化的双线性积可以产生由映射到的同构。

存在一个由到其双对偶的自然映射，定义为

常是单射；当且仅当的维数有限时，是个同构。

处理拓扑向量空间时，我们一般仅对该空间射到其基域的连续线性泛函感兴趣。由此导致连续对偶空间之概念，此乃其代数对偶空间之一子空间。向量空间之连续对偶记作′。此脉络下可迳称连续对偶为对偶。

线性赋范向量空间（如一巴拿赫空间或一希尔伯特空间）之连续对偶产生一线性赋范向量空间。对一上之连续线性泛函，其范数定义为

此法变一连续对偶为一线性赋范向量空间，实为巴拿赫空间。

对任意有限维之线性赋范向量空间或拓扑向量空间，正如欧几里得空间，其连续与代数对偶不二。

令为实数，并考虑所有序列构成之巴拿赫空间l ^p，使其范数

有限。以定义，其连续对偶遂自然等同于：给定一元素，中相应元素为序列 ，其中谓第项为1且余项皆0之序列。反之，给定一元素，上相应之连续线性泛函定为（对一切，见Hölder不等式）。

准此，之连续对偶亦自然同构于。再者，巴拿赫空间（赋以上确界范数之全体收敛序列）及（中收敛至零者）之连续对偶皆自然同构于。

若为希尔伯特空间，则其连续对偶亦然，并反同构于；此盖黎兹表示定理所明，物理学人赖以描述量子力学之狄拉克符号肇端乎是。

类似双重代数对偶，对连续线性算子亦有连续单射，此映射实为等距同构，即 对一切中皆真。使为双射之空间称自反空间。

连续对偶赋以一新拓扑，名弱拓扑。

若V之对偶可分，则亦可分。反之则不然；试取空间，其对偶不可分。