二次空间

二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那是并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。

二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特（j-r.p.hachette）、蒙日和泊松（s.d.poisson，1781~1840）建立的。

柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来，他又证明了n个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。

1851，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的分类方法中他引进了初等因子和不变因子的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论。

1858年，维尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个化简也是可能的。维尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双线性型。

线性代数的重要内容之一，它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关。

若是域上的线性空间，是从到的一个映射，使()=(,），∈，式中是上的对称双线性型，则称为上的二次型。当域的特征不为2时，则由唯一决定。此时(,）称为上的二次型或二次齐式，而(,）称为此二次型的极型。若{1,2，…，n}为的基底，则（式1），于是，二次型(,）可表为 （式2）式中（式3），（式4），,=1,2，…，。令

（式5）则（式6），,=1,2，…，。于是⑴可唯一地表为对称形式（式7）

式中（式8）是对称矩阵，且称为二次型(，）在基底1，2，…，n之下的矩阵。的秩rank称为此二次型的秩，记为rank。当的基底改变时，即（e1',e2',...,en')=(e1,e2,...,en)^T，二次型(,）在新基底1',2'，…，n'之下的矩阵变成=^T，仍为对称矩阵，且与是合同的。所以，研究二次型的合同性可归结为研究对称矩阵的合同性。上的二次型也可看成上的变元1,2，…，n的二次齐次函数，又称为元二次齐式或元二次型，它与对称矩阵和对称双线性型都是一一对应的。当为实数域时，可以证明必有的一组基底使二次型(,）有如下的形式 （式11）， ⑶

式中p+=rank。⑶称为实二次型(，）的实标准形。若⑶中的系数不限于±1，则⑶又可化为 （式12），⑷并称为实二次型(,）的实对角型。式中j、k均大于零。所谓惯性定理，即实二次型(,）中的p、、p┡、┡必满足p=p┡，=┡，亦即⑶中的p、或⑷中的p┡、┡是由(,）唯一决定的合同不变量，分别称之为(,）的正、负惯性指标，而=p-称为(,）的符号差。易知，rank、、p、四个数都是合同不变量，其中任意两个都可唯一决定标准形⑶。当为复数域C时，作为实二次型的推广有所谓埃尔米特二次型。若V为C上的线性空间，从 VXV到C的映射满足φ（α1x1+α2x2,y)=α1φ（x1,y)+α2φ（x2,y），（式14），式中,在V中，1、2在C 中，则称为 V上的埃尔米特双线性型。由此可推出（式15）（式16），式中、j在中，b1上横线、b2上横线是1、2的共轭复数，均在C中。此时(,）称为埃尔米特二次型。易知，(,）∈。若{1,2，…，n}是 的基底，（式17），则（式18）（式19），式中ajk=(ej,ek），A=(ajk)n*n，且A=A横线的转置矩阵。因此，当V的基底取定时，埃尔米特二次型(，) 则由一个埃尔米特矩阵唯一确定。实二次型的基本性质都可推广到埃尔米特二次型上。

所谓正定（恒正）的埃尔米特二次型或正定的实二次型(x,x）是指对于的非零向量x，有(x,x)>0。可以证明，对于(x,x），下述的命题是等价的：①(x,x）是正定的。②是正定矩阵。③有非奇异矩阵使=*，式中*表的共轭转置矩阵。④有对角元全为正的上三角矩阵M，使=M*M，式中M*表M的共轭转置矩阵。⑤的所有主子式全为正。⑥的阶主子式之和全为正，=1,2，…，，这里=dim。⑦的所有左上角主子式（顺序主子式）全为正。⑧ 的所有特征值全为正。⑨(x，x）的正项指标p =，这里=dim。

若将上述正定定义中的“>”，分别换为"≥"、“<；”和“≤”，即得出(x,x）关于半正定、负定和半负定的定义。这些定义之外的其他情形，称为不定型。若将上述的⑤、⑥、⑧中的“正”改为“非负”，则得半正定的充分必要条件。负定即-正定，半负定即－半正定，由此可得出负定、半负定的某些充分必要条件。

埃尔米特二次型与实二次型分别在酉变换与正交变换下的性质，无论是在理论上还是在实用上都具有重要的意义。在酉变换（正交变换）下，化埃尔米特二次型（实二次型）为标准形时，可先在V的任一基底下找出埃尔米特二次型对应的埃尔米特矩阵，再求出的全部特征值，即得(x,x）的标准形，式中的（1，2，…，n）是x在某一基底下的坐标；1,2，…，n是(x,x）在的任意基底下的对应矩阵的全体特征值。埃尔米特矩阵必有个线性无关的特征向量。令以1，2，…，n为对角元的对角矩阵，则M的列向量依次为各j对应的的特征向量，将这些向量正交化，即得所求的酉矩阵。实二次型为埃尔米特型的特例，所以也可用此方法求出实二次型的正交矩阵。

二次型的理论在物理学、几何学、概率论等学科中都已得到了广泛的应用。在二次型的研究中已由域上二次型的算术理论发展到环上二次型的算术理论，它们与代数数论、数的几何等都有密切的联系。此外，在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。