拓扑动力系统

　　① 初值条件： φ( x,0)= x; 　　② φ( x, t)对 x， t一并连续； 　　③ 群的条件：即对任意 x∈，任意 t1， t2∈ I有； 　　④ φ( x, t)对 t可微。

　　为了更一般地研究问题，可以抛开常微分系统，并假设空间是一般的 度量空间 R。设 φ( x, t)是 R× I到 R且满足性质①、②、③的单参数连续变换群，则所有这些变换的全体称为拓扑动力系统或抽象动力系统,记作,其中参数 t代表时间。点集{ φ( x, t), t∈ I}称为过点 x的轨线或轨道,记作 φ( x, I)。仿此,称为正半轨线，为负半轨线。 φ( x；为弧段。当 t∈ I( 半群),称为半动力系统或半流；当 t∈ N（整数加群）,称为离散动力系统或离散流。若 φ( x, t)= x，对一切 t∈ I,则称点 x为休止点，若 φ( x， t+ ω)= φ( x, t)，对一切 t∈ I，其中 ω>0，则称 φ( x, t)为周期轨线,满足上述等式的最小 正数 ω，称为周期轨线的周期。

　　下面是一个有趣的拓扑 动力系统──别布托夫系统。 　　令 勪。对于 ƒ( x)， g( x)∈勪 ,定义距离 。 　　对距离 ρ，勪 构成完备的可分的度量空间。定义映射 φ：勪× I→ I 如下： ， 　　于是它构成一个拓扑动力系统，称为别布托夫系统，简记为。 　　由 n个符号所组成的一切可能的双 无穷序列,在上述类似的距离和轨线的定义下，组成动力系统，称为 符号动力系统，它可视为的子系统。很多拓扑动力系统可嵌入成为它的子系统。 　　若 ƒ( x)呏с，则 φ( ƒ( x), t)是休止点；若 ƒ( x+ ω)= ƒ( x)，对一切 x∈ I，其中 ω>0，则 φ( ƒ( x)， t)是周期轨线。周期轨线在中处处稠密。另外中含有在勪中处处稠密的轨线。

　　G.D. 伯克霍夫认为，动力系统理论主要是研究各种轨线的类型及其间的关系。为了研究轨线的分类,必须了解轨线在无穷时( t→±∞)的状态。 　　 极限点集 设：实数列。如果有，则称点 y是轨线 φ( x， t)的 ω-极限点， Ωx表示 φ( x， t)的一切 ω－极限点集。若，则称 y是 φ( x, t)的α－极限点， Ax表示 φ( x, t)的一切α－极限点集。 　　不变集 设给定集合 A吇 R，若对一切 t∈ I, φ( A, t)= A，则称 A是不变集。 Ωx和 Ax是闭的不变集。任何一条轨线是不变集，但不一定是 闭集。 　　极小集 集合 ∑吇 R称为极小集,若它是非空、闭的且不变;同时它没有任何 真子集也具有这三条性质。显然， Σ中的每一条轨线在 Σ上处处稠密。另外，在上所定义的拓扑动力系统,若对轨线 φ( x, t)而言,，则 φ( x, I)就是一个极小集，但它不是紧致的。而比较有趣的是紧致极小集，如休止点和周期轨线就是紧致极小集。在 R上定义的 连续动力系统的紧致极小集只能是休止点和周期轨线。但当 R≠ R时，情形就不同了。 　　例如，式中 θ， φ的周期都为1。这样就在二维环面 T上定义了动力系统。当у是 有理数时， T上都是周期轨线；而у是 无理数时, T上的每条轨线在其上处处稠密， T构成紧致极小集。 　　又如，前例中,当у是无理数时，令，，式中 ( θ， φ)是对 θ， φ周期都为1的连续 周期函数。对；当,。直观地说，这就是将前例中的一条过点 p且在 T上处处稠密的轨线用 奇点 p切断。这时 T不再是极小集，而奇点 p是极小集。 　　伯克霍夫证明，若 R是紧致度量空间,则在其上定义的动力系统 Rt至少包含一个紧致极小集。 　　当 R是紧致的二维定向 流形,在其上定义了 C光滑动力系统。若 A是 Rt的极小集且在 R上 无处稠密,则 A必是休止点或周期轨线。若 Ωx中不包含休止点或周期轨线,则 Ωx= T= R。但当 Rt只是 C光滑时,A.当儒瓦在1931年举出过反例（见常 微分方程定性理论）。

　　根据轨线的极限点的性质，可分为： 　　① 若 Ωx=═，则称 φ( x, t)为正向远离； 　　② 若 Ωx≠═,但 φ( x, I)∩ Ωx=═，则称 φ( x, t)为正向渐近； 　　③ 若,则称 φ( x, t)为正向 泊松稳定，简称 p稳定。 　　仿此，有负向或双侧的远离、渐近和泊松稳定轨线，后者分别简称为 p或 p稳定。休止点和周期轨线是 p稳定的。 R上的连续动力系统的 p稳定轨线只能是休止点或周期轨线，且其上的 p或 p 稳定轨线必是 p稳定轨线。而当 R≠ R时,情形就完全不同了。如前述的 T2上被奇点切成两段的轨线, 一条是 p稳定的, 另一条是 p稳定的,而 T上其余的都是 p 稳定的轨线。比起远离和渐近轨线来， p 稳定轨线是较复杂和较有兴趣的。从 天体力学观点看， p稳定轨线在它的运行过程中,将不断地在其轨线的任一点的任意小 邻域内再现。与此现象相反的是下面的情形。 　　设点 x∈ R，若存在它的邻域 U( x)及时间 T>0,使得当 t≥ T 时, U( x)∩ φ( x, t)=═，则称 x为游荡点。 R上的所有游荡点集 W是 R上的不变 开集。 V= R\ W是相对于 R的非游的点集,它是不变闭集。所有 p稳定轨线上的点都是非游荡点。反之，却不然。如前述的被奇点切断的那条轨线，若再用有限个奇点将它切断，则每两个奇点之间的那些轨线就既非 p稳定也非 p稳定，但其上都是非游荡点。 　　对于 p稳定轨线 φ( x, t),根据在其运行过程中，它在轨线上任一点的任意小邻域中再现的 时间序列的性质不同，可分成很多类型，除了周期轨线外，最重要的是以下两类。 　　若对任给ε>0,存在 T(ε)>0及 I上对 T(ε)而言的相对 稠密集{τn}，使得对一切 t∈ I和一切τn，有 ρ( φ( x, t), φ( x, t+τn))<ε，则称轨线 φ( x， t)是几乎周期轨线（或称概周期轨线）。周期轨线便是几乎周期的，若周期轨线的周期为 ω>0，则可取 T(ε)= ω,τn= n ω。 　　若上述相对稠密集{τn}是依赖于轨线上的点 y= φ( x, t)或者说依赖于 t的，即{τn( t)},则称 φ( x, t)为回复轨线。回复轨线和几乎周期轨线的 闭包的性质是不同的。伯克霍夫证明,紧致极小集内的每条轨线都是回复的;反之，在 完备空间内回复轨线的闭包是紧致极小集。而紧致极小集 Σ成为几乎周期轨线的闭包的 充分必要条件是： Σ是紧致、交换、连通 拓扑群。 　　前例中未被奇点切断的轨线都是 p稳定的,但它们不是回复的。类似地，可构造 双周期函数( θ， φ)，使得整个环面 T是回复轨线的闭包而不是几乎周期轨线的闭包。 　　A.M. 李亚普诺夫稳定性（见 常微分方程运动稳定性理论）、吸引区等概念已经推广到拓扑动力系统。对非 自治微分方程的解来引进动力系统，即所谓“斜 积流”，这是值得注意的动向。，