Sobolev空间

对于数学函数的光滑性有很多种。最基本的要求可能就是函数要连续，更进一步的要求是导数（因为可微函数也是连续的），再强一些的概念是导数的连续性（这些函数称为— 参看光滑函数）。可微函数在很多领域相当重要，特别是在微分方程中。在二十世纪，人们发现函数空间不是研究微分方程的解的恰当的空间。

而索博列夫空间正是空间的替代品，用于研究偏微分方程的解。

我们从最简单情况下的索博列夫空间开始，也就是单位圆上的一维情况。在这个情况下，索博列夫空间定义为L的子集，使得f和它的直到k阶的导数有一个有限的L范数，对于某个给定的p≥ 1。定义正确意义上的导数时必须小心。在这个一维问题中，假设是几乎处处可微并且等于其导数的勒贝格积分（这可以排除康托函数这样的例子）就足够了。

按照这个定义，索博列夫空间有一个自然的范数,

赋予了范数的是一个完备空间。实际上只要取序列中的第一项和最后一项就可以了，也即，如下的范数和上述范数等价。

例子

有些索博列夫空间有简单的表述。例如，在一维情况，就是绝对连续函数空间，而W是李普希兹函数空间。还有，可以自然地用其傅立叶级数的术语定义，也就是

其中是f的傅立叶级数。和前面一样，可以采用等价的范数

两个表达都可以从帕塞瓦尔定理以及微分等价于傅立叶系数乘以in这个事实导出。

为避免混淆，在讨论不是整数的k的时候，我们通常用s来取代它，也即或者。

p= 2的情形是最简单的情形，因为傅立叶表述可以直接推广。我们定义范数为

而索博列夫空间为具有有限范数的函数的空间。

如果p不是2，就采取类似的方法。在这个情况下帕塞瓦尔定理不再成立，但是微分还是对应于在傅立叶域中的乘法，并且可以推广到非整数阶。因此，可以定义一个分数阶微分的算子其阶为s，如下所示

换句话说，取傅立叶变换，乘以再取逆傅立叶变换（定义为傅立叶－乘法－逆傅立叶的算子称为乘子，这本身也是一个研究主题）。这使得我们可以定义的索博列夫范数如下

而且，跟平常一样，索博列夫空间是有有限索博列夫范数的函数的空间。

获取“分数索博列夫空间”的另一个办法是采用复插值。复插值是一个通用的技术：对于任何0 ≤ t ≤ 1 和巴拿赫空间X及Y，且这二者都包含于某个更大的巴拿赫空间中，我们可以创建“过渡空间”，记为[X,Y]t。（后面将会讨论到一个不同的方法，所谓的实插值方法，它对于迹的分类的索博列夫理论有重要的意义）。

现在考虑在R及其子集上的索博列夫空间。从圆到线的变化只涉及傅立叶公式的技术细节 — 基本上就是将傅立叶级数变为傅立叶变换，将求和变为积分。到多维情况的转换有更大的难度，从定义就开始变化。是的积分这个条件无法一般化，而最简单的解决办法是考虑分布理论意义下的导数。

由此可以得到一个形式化的定义。令D为R中开集。定义索博列夫空间

为定义于D上的函数f的族，使得对于满足下式的每个多重索引

是一个函数，且

在它上面的一个合适的范数是所有这样的α上的那些L范数的和。它是完备的，因此是一个巴拿赫空间。

实际上，这个方法在一维也成立，并且和前面分数阶微分中所述并无多大区别。

在多维情况，有些结果不再成立，例如，只包含连续函数。例如，1/|x|属于，其中是三维的单位球。对于足够大的k，将只包含连续函数，但是对于哪个k才够取决于p以及维数这二者。

但是，W和的表述在做了必要的修改之后还是成立的。

索博列夫空间是的子集。一个很自然的问题是:有没有其它的L空间包含？索博列夫嵌入定理给出一个简单的表达（参看）:

定理:令且。则如下命题成立:

若则（作为集合）。而且，包含关系是一个有界算子。

若则所有有紧支撑的函数是的元素，其中。