渐近正态估计

相合性反映了当时估计量的优良性质，但由于参数的相合估计可以不止一个，它们之间的差异可以用估计量的渐近分布的渐近方差反映出来。

定义设是的估计量，如果存在一串，满足，其中，使得当时，有

的分布收敛于N(0，1)

则称是的渐近正态估计，称为的渐近方差。

当样本容量n足够大时，对于一个渐近正态估计，可以用作为的近似分布，从而可以对进行区间估计。

容易证明，渐近正态估计一定是相合估计，但不一定是强相合估计。

对某个待估参数，如果存在着渐近正态估计，这样的估计可能并不唯一。因此渐近方差的大小就可以作为比较这些估计优劣的一个准则。

最优渐近正态估计设为待估参数的一个渐近正态估计，渐近方差为，若对的任意渐近正态估计，渐近方差记内、有

则称为的最优渐近正态估计(the best asymptotically normal estimate)^[1]。

定理渐近正态估计一定是相合估计。

证明： 设是的渐近正态估计，由定义，对任意及k>0，当n充分大时必须充分小，因此，故当时有

由k的任意性，令，由于，因此

即是的相合估计^[2]。

例1设X～B(1，p)(二项分布)，(X1，X2，…，Xn)是X的样本，p的一个估计量是，由中心极限定理，当时有

的渐近分布为N(0，1)，

故是p的渐近正态估计，渐近方差为。