拉格朗日括号

令(q₁, …, q_n, p₁, …, p_n)为相空间中的正则坐标，且每一个坐标都可表示为两个变量u与v的函数，则u和v的拉格朗日括号为：

拉格朗日括号与特定的正则坐标无关(q, p)。如取另一组正则坐标(Q,P) = (Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n)，满足正则变换

此时拉格朗日括号不变，即

因而通常情况下会省略下标。

如果2n维相空间W上有辛形式Ω，u₁,…,u_2n是W上的一个坐标系，那幺正则坐标(q,p)可表示为u的函数，而拉格朗日括号所组成的矩阵

表示在]Ω在坐标系u下的分量，可看作一个张量。这个矩阵是由泊松括号所组成的矩阵

的逆矩阵。

由上述性质可以得到，相空间上的坐标(Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n)是正则的，当且仅当它们之间的拉格朗日括号有如下形式：