等度连续

命(或写成)为定义在实数集E上一列实数值函数，我们说在E上是等度连续的，倘若对任意存在一个，使得凡当及的时候都有^[1]

命题1

命K为一个实数的紧致集，若在K上是一个一致收敛的连续函数的序列，则在K上是等度连续的。

证明:设给定，则存在一整数n₀及使得，对一切及

因为在紧致集上连续的函数是一致连续的，我们有

对及成立，因此，若与我们有

这与(1)一起证明了命题。^[2]

定义1

命为定义在实数集E上的一个实数值函数序列，我们说在E上是点式有界，倘若序列对每一有界，就是说，倘若存在一个有限值函数h，定义在E上，使得

对一切及一切成立。

我们回忆一下在E上叫做一致有界，倘若有一实数M使得

对一切及成立。

命题2

命K为一实数紧致集，如果在K上是点式有界及等度连续，则在K上一致有界。

证明:我们定义

给定我们选取使得蕴涵

对n=1，2，…成立，如果我们固定两点x与y，不等式

蕴涵以及不等式

蕴涵；因此凡当的时候，

故在K上是连续的，因为K是紧致的，故为有界。^[2]

命题3

(阿斯科利-阿尔采拉(Ascoli-Arzela)定理)命K为实数的一紧致集，若在K上是点式有界及等度连续，则在集K上含有一个一致收敛的子序列。

证明：命E为K的一切有理点的集，则E是可数的，并且K是E的闭包，命则是一有界序列，由Bolzano-Weierstrass定理，可选取的一个子序列使得收敛，不妨设

再考虑，由Bolzano-Weierstrass定理，可以选取的一个子序列使得存在。

继续这样下去，得到一个子序列对m=1，2，…，使得存在，m=1，2，…．然后考虑对角线序列。

对固定的是的一个子序列，因此收敛于，所以在E的每一点上收敛。

对任意，由于在K上等度连续，存在一个，使得以及n≥1，有

因为K为E的闭包，且是紧致集，在E内有有限多个点，使得

选取n₀，使得

对都成立。

于是，对任意的，有一点，其中，使得当时，有

因此，在K上一致收敛。^[1]