双曲型偏微分方程

双曲型偏微分方程简称双曲型方程，是偏微分方程的一种类型。它主要用于描述振动、波动现象与相应的运动过程。它的一个典型特例是波动方程和n=1时的波动方程。可用来描述弦的微小横振动，称为弦振动方程。这是最早得到系统研究的一个偏微分方程。

双曲型方程主要是按偏微分方程的系数特性来介定的。当自变量个数或方程的阶数不同时，双曲型方程可以有不同的定义方式。

二阶线性偏微分方程

对于二阶线性偏微分方程

其中，，则若系数矩阵在某点的惯性指数为一正负，或一负正，就称该方程在点为双曲型的。如果该偏微分方程在区域中每一点都是双曲型的，则称该方程在中为双曲型的。如果一个二阶偏微分方程在点为双曲型的，则可以通过自变量变化将方程在这一点的主部化为

这时变量也常记为 t，称为时间变量。

高阶偏微分方程

对于高阶偏微分方程的情形，为了叙述简明，以下仅对时间方向已确定的情形讨论。在变量变化的区域中给定 m 阶偏微分方程

(1)

其中，k是非负整数，是 n 重指标，若在，对任意的，特征方程

有 m 个不同的实根，则称上述高阶方程为双曲型方程。

相应地，可以通过自变量的坐标可以定义关于任意方向的双曲型方程。按上述方式定义的双曲型方程强调了特征方程有 n 个单重实根，它也称为严格双曲型方程 (strictly hyperbolic equation)或称完全双曲型方程，彼得洛夫斯基意义下单双曲方程。

双曲型方程最重要的性质是其柯西问题的适定性。有时人们也用此来作为双曲型方程定义的基础，所以在高阶方程的情形，也有将双曲型方程定义为：若存在常数，使得对每个，包括低次项的关于变量的方程

的解必满足，则称方程（1）为双曲型方程。这个定义比前一个定义要弱。可以证明，在这样的定义下，双曲型方程柯西问题的适定性仍成立。按这种定义，一个双曲型方程的特征多项式可以允许有多重实根出现，而且方程是否为双曲型与该方程的低阶项有关。

对于非线性双曲型方程，双曲型的定义一般要依赖于所考察方程的解。非线性双曲型方程柯西问题光滑的存在性一般只能是局部的。它的解在有限时间内会产生奇性。^[1]