阿贝尔群

阿贝尔群以挪威数学家 尼尔斯·阿贝尔命名。由 阿贝尔群分解 定理， 任何阿贝尔群可以分解成一些整数群和 剩余类群的直和， 这个 分解是唯一的， 其中分解出来的整数群的个数称为阿贝尔群的 秩。比阿贝尔群更广泛的概念是 模的概念，阿贝尔群就是整数环上的模。阿贝尔群有两个传统的记号方式： 加法及 乘法。常用加法表示群运算。

阿贝尔群是有着群运算符合交换律性质的群，因此阿贝尔群也被称为交换群。它由自身的集合 G 和二元运算 * 构成。它除了满足一般的群公理，即运算的结合律、G 有单位元、所有 G 的元素都有逆元之外，还满足交换律公理

因为阿贝尔群的群运算满足交换律和结合律，群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关。

而群运算不满足交换律的群被称为“非阿贝尔群”，或“非交换群”。

设<C,*>是一个群，<G,*>是阿贝尔群的充要条件是对任意的a,b∈G,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。

任何一个循环群必定是阿贝尔群。

阿贝尔群有两种主要运算符号 — 加法和乘法。

一般地说，乘法符号是群的常用符号，而加法符号是模的常用符号。当同时考虑阿贝尔群和非阿贝尔群时，加法符号还可以用来强调阿贝尔群是特定群。

验证有限群是阿贝尔群，可以构造类似乘法表的一种表格(矩阵)，它称为凯莱表。如果群 G = {g1 = e, g2, ..., gn} 在运算 ⋅ 下，则这个表的第 (i, j) 个表项包含乘积 gi ⋅ gj。群是阿贝尔群当且仅当这个表是关于主对角线是对称的(就是说这个矩阵是对称矩阵)。

这是成立的因为如果它是于阿贝尔群，则 gi ⋅ gj = gj ⋅ gi。这蕴含了第 (i, j) 个表项等于第 (j, i) 个表项，就是说这个表示关于主对角线对称的。

整数集和加法运算 "+" 是阿贝尔群，指示为 (Z,+)，运算 + 组合两个整数形成第三个整数，加法是符合结合律的，零是加法单位元，所有整数 n 都有加法逆元 −n，加法运算是符合交换律的因为对于任何两个整数 m 和 n 有 m + n = n + m。

所有循环群 G 是阿贝尔群，因为如果 x, y 在 G 中，则 xy = aman = am + n = an + m = anam = yx。因此整数集 Z 形成了在加法下的阿贝尔群，整数模以 n Z/nZ 也是。

所有环都是关于它的加法运算的阿贝尔群。在交换环中的可逆元形成了阿贝尔乘法群。特别是实数集是在加法下的阿贝尔群，非零实数集在乘法下是阿贝尔群。

所有阿贝尔群的子群都是正规子群，所以每个子群都引发商群。阿贝尔群的子群、商群和直和也是阿贝尔群。

矩阵即使是可逆矩阵，一般不形成在乘法下的阿贝尔群，因为矩阵乘法一般是不可交换的。但是某些矩阵的群是在矩阵乘法下的阿贝尔群 - 一个例子是 2x2 旋转矩阵的群。