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换底公式

换底公式

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简单介绍

公式

对于且，有

推导过程

法一：若有对数，设，。

则根据对数的基本公式和及,可得

则有

证毕。

法二：若有对数，则，且

于是

两边取以c为底的对数得，，即。

证毕。

法三：若有对数，则，且，于是

即

从而

证毕。[2]

推论

下面给出若干推论。由换底公式，易知

指数函数换底公式

在高等数学中有一种求导方法叫对数求导法，其原理就是指数函数的换底，把底为普通常数或变量的指数函数或幂指函数统统都变形为以e为底的复合函数形式。

这些都可以很容易地由对数换底公式及推论得到。

应用

对数计算

通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底的自然对数或者是转换为以10为底的常用对数，方便运算；有时也通过用换底公式来证明或求解相关问题；

在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如，大多数计算器有自然对数和常用对数的按钮，但却没有[log2]的。要计算，你只有计算（或，两者结果一样）；

工程技术

在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式。

例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a为底b为真数的对数函数，只有以常用对数（即以10为底的对数）或自然对数（即e为底的对数）。此时就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数，表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而处理某些实际问题。

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