样本统计量

定义1 设X1,X2,...,Xn是来自总体X的容量为n的样本，如果X1,X2,...,Xn相互独立且每一个都是与总体X有相同分布的随机变量，则称X1,X2,...,Xn为总体X的容量为n的简单随机样本，简称为简单样本或样本。^[1]

注：样本X1,X2,...,Xn也可用n维随机向量(X1,X2,...,Xn) 表示。记xi为Xi的一次观察值，并称(x1,x2,...,xn)为样本X1,X2,...,Xn的一次观察值。^[1]

定义2 设X1,X2,...,Xn为总体X的样本，T为n维实值函数，作样本X1,X2,...,Xn的函数T=T(X1,X2,...,Xn)（不带未知参数的随机变量），T的取值记为t=T(x1,x2,...,xn)，称T或T(X1,X2,...,Xn)为样本统计量，简称为统计量。^[1]

注：1）统计量指的是样本的函数，并且不含有未知参数。样本的函数等价于定义在样本空间上的函数。

2）给定样本的一次观察值x=(x1,x2,...,xn) 时，T(x1,x2,...,xn)的值完全确定。^[1]

例1^[1]设X1,X2,...,Xn为总体X的样本，其容量为n. 记

则及都是统计量，称及分别为样本X1,X2,...,Xn的平均值及方差。样本的观察值为x1,x2,...,xn，及的观察值分别记作

定义3 设X1,X2,...,Xn为总体X的样本，今由样本建立n个函数：

其中为这样的统计量，它的观察值为，为样本X1,X2,...,Xn的观察值x1,x2,...,xn中由小到大排列后的第k为数值，则称为顺序统计量。^[1]

注：易见，称为最小项统计量，为最大项统计量。^[1]

定义4 设X1,X2,...,Xn为总体X的样本，则称统计量为样本的极差。^[1]

注：极差是样本中最大值与最小值之差，反映了样本观察值的波动幅度。它同方差一样是反映观察值离散程度的数量指标，而且计算方便。^[1]

统计量是对总体X的分布函数或数字特征进行估计与推断最重要的基本概念，求出统计量T(x1,x2,...,xn)的分布函数是数理统计学的基本问题之一。统计量的分布，称为抽样分布。^[1]