梯形图形

　　1．等腰梯形的两条腰相等 　　2．等腰梯形在同一底上的两个底角相等 　　3．等腰梯形的两条 对角线相等 　　4．等腰梯形是 轴对称图形， 对称轴是上下底中点的连线所在直线 　　5．等腰梯形（这个非等腰梯形同理）的 中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）等于上下底和的二分之一 　　6.有一个角为90°的梯形是直角梯形 　　注意：在有些情况下，梯形的上下底以长短区分，而不是按位置确定的，把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。

　　1．一组对边平行，另一组对边不平行的 四边形是梯形 　　2．两腰相等的梯形是 等腰梯形 　　3．同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 　　4．有一个内角是直角的梯形是 直角梯形 　　5．对角线相等的梯形是等腰梯形．

　　梯形的 面积公式：（上底+下底）×高÷2。 　　 等腰梯形面积公式： 中位线×高 　　用字母表示：（a+b）×h÷2 　　或 l·h 　　梯形的 周长公式：上底+下底+腰+腰 　　用字母表示：a+b+c+d

　　1．作高（无数条，根据实际题目确定） 　　2．平移一腰 　　3．平移 对角线 　　4．延长两腰交于一点 　　5．取一腰中点，另一腰两端点连接并延长。 　　6． 取两底中点，过一底中点做两腰的 平行线。

　　1.平行腰：过一顶点作一腰的平行线； 　　2.平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线； 　　3.过底的顶点作另一底的 垂线。

　　例1、如图，△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的 平分线．求证： 四边形EBCD是 等腰梯形． 　　分析：欲证四边形EBCD是等腰梯形，解题思路是证ED//BC，BE=CD，由已知条件易证△BCD≌△CBE得到EB=DC，从而AE=AD，运用 等腰三角形的性质可证ED//BC． 　　证明：∵AB=AC， 　　∴∠ABC=∠ACB， 　　∴∠DBC=∠ECB=∠ABC， 　　∴△EBC≌△DCB（ASA）， 　　∴BE=CD， 　　∴AB－BE=AC－CD，即AE=AD． 　　∴∠ABC=∠AED=，∴ED//BC， 　　又∵EB与DC交于点A，即EB与DC不 平行， 　　∴四边形EBCD是梯形，又BE=DC， 　　∴四边形EBCD是等腰梯形． 　　点评：本题的解题关键是证明ED//BC，EB=DC，易错点是忽视证明EB与DC不平行． 　　例2、如图，已知四边形ABCD中，AB=DC，AC=DB，AD≠BC．求证：四边形ABCD是等腰梯形． 　　证明：过点A作AE∥DC交BC边于点E． 　　∵AB=CD，AC=DB，BC=CB， 　　∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB 　　又AE∥DC，∴∠AEB=∠DCB 　　∴∠ABC=∠AEB ，∴AB=AE 　　∴四边形AECD是 平行四边形． ∴AD∥BC． 　　又AB=DC，且AD≠BC， ∴四边形ABCD为等腰梯形． 　　点评： 　　判定一个任意四边形为等腰梯形，如果不能直接运用等腰梯形的判定 定理，一般的方法是通过作 辅助线，将此四边形分解为熟悉的多边形，此例就是通过作平行线，将四边形分解成为一个平行四边形和一个等腰三角形． 　　例3、如图，P为等腰梯形ABCD的下底BC上一点，PM⊥AB，PN⊥CD，M，N为 垂足，BE⊥CD，E为垂足．求证：BE=PM+PN． 　　证明：过P点作PH⊥BE于点H． 　　∵BE⊥CD，PN⊥CD， 　　∴四边形PHEN是 矩形． 　　∴HE=PN，EN∥PH． ∴∠BPH=∠C． 　　∵四边形ABCD为等腰梯形， 　　∴∠ABC=∠C． 　　∴∠MBP=∠HPB． 　　又PM⊥AB，BP公共， 　　∴Rt△MBP≌Rt△HPB． 　　∴PM=BH． 　　∴BE=BH+HE=PM+PN． 　　点评：要证线段的 和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成，本例采用的是“截长法”． 　　例4、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB=AD+BC，M为DC的中点．求证：AM⊥BM． 　　证明：延长AM交BC的延长线于点N． 　　∵M为DC中点，AD∥BC， 　　∴△ADM≌△NCM． 　　∴AD=CN，AM=MN． ∴AB=AD+BC=BN． 　　由等腰三角形“ 三线合一”知，BM⊥AM． 　　点评：根据证题的需要，集中梯形的两底也是常用的添加辅助线的方法．本例也可以先延长BC至N，使BN=AB，再证A、M、N共线． 　　例5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC， 对角线AC⊥BD，且AC=5cm，BD=12cm，求该梯形上下底的和． 　　解：过D作DE∥AC交BC的延长线于点E． 　　∵AD∥CE， 　　∴DE=AC=5cm，AD=CE． ∵AC⊥BD， 　　∴DE⊥BD． 　　在Rt△BDE中， 　　∴AD+BC=CE+BC=BE=13cm． 　　点评：过顶点作一条对角线的平行线，把两条对角线的数量关系和位置关系集中到一个三角形中，将求梯形上下底的长转化为求 直角三角形斜边的长． 　　例6、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2．求梯形的高． 　　解法1：如图(甲)，过A作AE∥DB交CB的延长线于点E．　 　　∵AC⊥BD， 　　∴AC⊥AE． ∵AD∥EB， 　　∴AE=BD，EB=AD．　 　　又∵四边形ABCD是等腰梯形， 　　∴AC=BD． 　　∴AE=AC．　 　　∴△AEC是 等腰直角三角形．　 　　又AF是斜边上的高，故AF也为斜边上的中线． 　　∴AF=7cm 　　解法2：　设梯形ABCD的两条对角线相交于O点，过O作OH⊥BC于点H，延长HO交AD于 G点(如图(乙))．　 　　∵AD∥BC， 　　∴HG⊥AD．　 　　∵AB=DC，AC=DB，BC公共，　 　　∴△ABC≌△DCB． 　　∴∠2=∠1．　 　　又∵AC⊥BD，∴△BOC是等腰直角三角形．　 　　∴．同理．　 　　∴．　以下解答过程与解法1相同． 　　解法3：过D作DM⊥BC于点M(如图(丙))．　 　　∵梯形ABCD是等腰梯形， 　　∴AC=DB，∠ABC=∠DCB．　 　　又∵AF=DM， 　　∴Rt△AFC≌Rt△DMB， 　　∴∠DBC=∠ACB．　 　　又∵AC⊥BD， 　　∴∠DBM=∠ACF=45°．　 　　∴△AFC和△DMB都是等腰直角三角形．AF=FC，DM=MB，　 　　∴．　以下解答过程与解法1相同． 　　点评：　本题的三种解法都是利用等腰直角三角形的性质或 全等三角形的性质来证明该梯形的高就等于该梯形的 中位线的长．因此，在等腰梯形中，若两条对角线 垂直，则这个梯形的高就等于中位线的长，梯形的面积就等于高的平方． 　　例7、如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且AE=GF=GC．　(1)求证四边形AEFG是平行四边形；　(2)当∠FGC=2∠EFB时，求证四边形AEFG是矩形． 　　分析：本题考查有关三角形、四边形的综合证明．涉及到等腰梯形的性质、 平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等．在解答过程中要注意证明格式、推理方式的规范化． 　　证明：(1)∵在梯形ABCD中，AB=DC， 　　∴∠B=∠C．　 　　∵GF=GC， 　　∴∠C=∠GFC， ∴∠B=∠GFC．　 　　∴AB//GF，即AE//GF．　 　　又∵AE=GF， 　　∴四边形AEFG是平行四边形．　 　　(2)过点G作GH⊥FC，垂足为H．　 　　∵GF=GC， 　　∴∠FGH=∠HGC．　 　　∵∠FGC=2∠EFB， 　　∴∠FGH=∠EFB．　 　　∵∠FGH+∠GFH=90°， 　　∴∠EFB+∠GFH=90°， 　　∴∠EFG=90°．　 　　∵四边形AEFG是平行四边形， 　　∴四边形AEFG是矩形．