球面三角学

在球壳的表面，最短的距离是大圆上接近直线的弧线，也就是圆弧的圆心与球壳的球心是同一点。例如：地球上的子午线和赤道都是大圆。所谓行星表面的直线，就是球面上两点之间最近距离的大圆弧线（如果把自己拘束在球面上的直线上）。

在球面上，由大圆的弧所包围的区域称为球面多边形，但要注意，不同于平面上的情形，在球面上二角形是可能存在的。（两个弧夹出两个角的三角形类似物）

这些多边形的边长(弧长)，可以利用球心角很方便的来测定，将弧的两端所对应的球心角乘上半径便是边长。要注意的是，这些角都必须用弪度量来量度。.

因此，对一个球面三角形而言，是由他的弧长与球心角来具体描述的，只是弧的长度是用弪度量来标示。

值得注意的是，球面三角形的三个内角的和总是大于180°，但在平面上只有180°。超过180°的数值称为球面剩余 E：E = α + β + γ - 180°，这些结余给出了球面三角形的面积。确定这个值，球面剩余必须以弪度量来测定，表面积A依据球面的半径和球面剩余来测量：

A = R2 · E

这是高斯-邦奈定理，这很明显的显示没有相似的球面三角形(三角形有相同的角，但邊長和面積不同)。而在特殊的情况下，球的半径为1，则球面三角形的面积A = E。

要解球面几何的问题，要点是能剖析出其中的直角三角形(三个角中有一个是90°)，因为这样就可以利用纳皮尔的多边形求解。

纳皮尔的圆周显示直角三角形的部分关联性

利用纳皮尔多边形(也称为纳皮尔圆周)的口诀可以很轻易的记住球面直角三角形的所有关联性： 以他们出现于球面三角形的顺序，依照相邻的边角关系，依序将三角形的六个角写在一个圈子内，也就是开始以一个角度开始，然后在它旁边写上相邻的边的弧角度，继续再写下下一个角度，···，最后结束成一个圆。然后删除90°的角角度并且将它相邻的弧角度替换成他们补角的数值(与原角弧度之和为90°) (也就是将 a 换成 90° − a)。 现在，这五个数组成了我们需要的纳皮尔多边形(纳皮尔圆周)，从这儿，可以得到每个角度的余弦值等于：

相邻两角度的余切的乘积

相对两角度的正弦的乘积

可以参考半正矢(Haversine formula)，能在球面三角上解析弧长与角度，为航海学提供了稳定的模式。

球面三角形满足球面余弦定理

这个恒等式的证明需要利用平面的余弦定理和球面三角形的对角"C"延升的切线，而且，在小角度时可以引用平面几何的公式。

他也满足并且有相似于平面形式的正弦定理