函数的相关性

函数的相关性

中文名 函数的相关性
相关 函数相关定理是隐函数定理的最好运用
应用学科 数学分析
目录导航

定义

设函数组(如下图)简记作,在的某领域内有定义,又设,则当且仅当存在函数在的任意领域里不恒等为零,使得在的领域里成立时,称为在处函数相关,否则为函数无关。当且仅当在区域(属于)内处处函数相关时,称为在内函数相关。[3]当且仅当在内处处无关时,才称在内函数无关。

在区域内处处函数无关时,也可称为函数独立。[4]

判断定理

定理1若雅可比矩阵在点处的秩,则在处函数无关。[3]

证明因秩,故存在阶的行列式不为零。只要改变一下编号,便可假设行列式(如下图)的值不等于零,根据隐函数存在定理,对于定义中的函数方程组及点存在的领域,使得可写为的函数,适合该函数方程组,且时,(的某一领域)。这表明函数方程组所确定的映射使某领域的像填满了的某个领域,故在处函数无关。[3]

推论:(1)若的雅克比行列式在内处处不等于零,则在内函数无关。即当雅克比行列式(于)时在内函数无关。[3]

(2)若在处函数相关,则矩阵在处秩。[3]

函数组,的雅可比矩阵(如右下图)中,有一个二阶行列式无零点,所以这两个函数是函数无关的。[3]

定理2设在点的某领域里有连续的一阶偏导数,雅可比矩阵在附近的秩,且这个函数的行列式(如下图)不等于零,则:(1)在处函数无关;(2)在处函数相关。[3]

特殊情况

线性代数中,齐次线性函数组的线性相关概念是函数相关的一个特殊情况。注意函数无关性是局部概念,即一组函数在一点无关,而在另一点却函数相关。但线性相关或线性无关则是整体性概念,即在整个空间中,线性函数组要么线性相关,要么线性无关。[1]

由推论1可以得出结论,如果齐次线性函数组函数相关(在某点),则它们必定线性相关(在整个空间上)。[1]

定理3设齐次线性函数组(如右图),则以下三个条件等价:[3]

(1)在某点处函数相关;(2)线性相关;(3)在中函数相关。[3]

证明(1)=>(2),设(如右下图),因在处函数相关,知在处的秩,从而系数矩阵()的秩,故线性相关。[3]

(2)=>(3),因为线性相关,故存在不全为零的常数使得(于),所以在中处处函数相关。[3]

(3)=>(1),明显成立。[3]

应用

数据依赖,是指一个关系内部属性与属性之间的一种约束关系。数据依赖主要包括函数依赖(Functional Dependency,简记为FD)和多值依赖,而函数依赖也就是函数的相关性,它描述了一个关系框架的属性之间的联系。例如,假设A和B是关系R的属性,如果A的每个值都与B中的一个值对应,那么B就函数依赖于A(表示为AB)。(A和B均可能由一个或多个属性组成),或者说关系R满足函数相关性XY,其中,X称为FD XY的左边,Y称为右边。[5]

Armstrong公理为一组推理规则,根据该推理规则,可用逻辑推理的方法,由已知成立的一些函数相关性推导出新的函数相关性。[5]

相关百科
返回顶部
产品求购 求购