函数的相关性

设函数组（如下图）简记作，在的某领域内有定义，又设，则当且仅当存在函数在的任意领域里不恒等为零，使得在的领域里成立时，称为在处函数相关，否则为函数无关。当且仅当在区域（属于）内处处函数相关时，称为在内函数相关。^[3]当且仅当在内处处无关时，才称在内函数无关。

在区域内处处函数无关时，也可称为函数独立。^[4]

定理1若雅可比矩阵在点处的秩，则在处函数无关。^[3]

证明因秩，故存在阶的行列式不为零。只要改变一下编号，便可假设行列式（如下图）的值不等于零，根据隐函数存在定理，对于定义中的函数方程组及点存在的领域，使得可写为的函数，适合该函数方程组，且时，（的某一领域）。这表明函数方程组所确定的映射使某领域的像填满了的某个领域，故在处函数无关。^[3]

推论：（1）若的雅克比行列式在内处处不等于零，则在内函数无关。即当雅克比行列式（于）时在内函数无关。^[3]

（2）若在处函数相关，则矩阵在处秩。^[3]

例函数组，的雅可比矩阵（如右下图）中，有一个二阶行列式无零点，所以这两个函数是函数无关的。^[3]

定理2设在点的某领域里有连续的一阶偏导数，雅可比矩阵在附近的秩，且这个函数的行列式（如下图）不等于零，则：（1）在处函数无关；（2）在处函数相关。^[3]

线性代数中，齐次线性函数组的线性相关概念是函数相关的一个特殊情况。注意函数无关性是局部概念，即一组函数在一点无关，而在另一点却函数相关。但线性相关或线性无关则是整体性概念，即在整个空间中，线性函数组要么线性相关，要么线性无关。^[1]

由推论1可以得出结论，如果齐次线性函数组函数相关（在某点），则它们必定线性相关（在整个空间上）。^[1]

定理3设齐次线性函数组（如右图），则以下三个条件等价：^[3]

（1）在某点处函数相关；（2）线性相关；（3）在中函数相关。^[3]

证明（1）=>（2），设(如右下图），因在处函数相关，知在处的秩，从而系数矩阵（）的秩，故线性相关。^[3]

（2）=>（3），因为线性相关，故存在不全为零的常数使得（于），所以在中处处函数相关。^[3]

（3）=>（1），明显成立。^[3]

数据依赖，是指一个关系内部属性与属性之间的一种约束关系。数据依赖主要包括函数依赖（Functional Dependency，简记为FD）和多值依赖，而函数依赖也就是函数的相关性，它描述了一个关系框架的属性之间的联系。例如，假设A和B是关系R的属性，如果A的每个值都与B中的一个值对应，那么B就函数依赖于A（表示为AB）。（A和B均可能由一个或多个属性组成），或者说关系R满足函数相关性XY，其中，X称为FD XY的左边，Y称为右边。^[5]

Armstrong公理为一组推理规则，根据该推理规则，可用逻辑推理的方法，由已知成立的一些函数相关性推导出新的函数相关性。^[5]