高斯-博内定理

设是一个紧的二维黎曼流形，是其边界。令为的高斯曲率，为的测地曲率。则有

其中dA是该曲面的面积元，ds是M边界的线元。此处是的欧拉示性数。

如果的边界是分段光滑的，我们将视作光滑部分相应的积分之和，加上光滑部分在曲线边界上的转过的角度之和。

广义高斯-博内定理(generalized Gauss–Bonnet theorem)成立于偶数维数的闭黎曼流形。在偶数维数的闭黎曼流形，欧拉示性数仍然可以表达为曲率多项式的积分。

公式：

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这是对于高维空间的直接推广。

例如在四维空间：