直线系

直线系是指具有某种共同特征的直线的集合，表示这个直线系的方程叫做直线系方程，其特点是在直线方程中含有一个参数。

确定平面上一条直线，需要两个独立且相容的几何条件，如果只给定一个条件，直线的位置不能完全确定。另一方面，如果只给定一个几何条件时，二元一次方程的两个独立的系数中，只有一个被确定，那个未被确定的系数是参数。

利用直线系方程求直线，可以简化计算过程，欲求适合某两个几何条件的直线的方程，可先用其中一个条件写出直线系方程，再用另一个条件来确定参数值^[2]。

常见的直线系方程有以下几种：

（1）有共同斜率的直线系方程。如斜率为2的直线系方程为(b为参数)。

（2）在轴上共截距的直线系方程。如截距为3的直线系方程为(k为参数)。

（3）与直线平行的直线系方程为(为参数)。

（4）与直线垂直的直线系方程为(为参数)。

（5）过已知点的直线系方程为(k为参数)，不含直线。

（6）过两直线及交点的直线系方程为(是不全为零的实数)。

（7）在两轴上截距之和为定值p的直线系：（为参数）。

例1给出两圆和一点，求通过两圆交点和这点的圆。

解：不用解联立方程求出两圆交点，再求通过三点的圆，这样做工作量相当大。

凡是通过两已知圆交点的圆的方程必呈下形式

要求此圆通过点得

所以代入上式得所求圆

例2求三角形外接圆的方程，已知三角形三边的方程为

解：按通常的解法，先解三个二元一次方程组，以得出三角形三个顶点的坐标；再按三个条件列出一个三元一次方程组并解出所求圆的系数来，才得出所求圆的方程。

有了直线系和曲线系的启示，这里设计一个新解法：

对于一切实数a和b，二次曲线

必通过三边两两交点。这是因为：设是一个顶点，以代替，它使这里出现的三个不同的括号中的两个为零，因而上式左端三项都为零，可见曲线(1)通过，即通过任一顶点。

进一步要使二次曲线(1)代表圆，二次曲线是圆的充要条件是两条：

(1)的系数=的系数；

(2)的系数=0^[3]。

于是得

所以

代入式(1)，乘出得所求外接圆的方程为