循环小数

循环小数即为有理数的小数表示形式，例：

一个分母为N的循环小数的循环节位数最多不超过N-1位。

根据分数的情况分开讨论

1.除数a为的倍数时，有max(m,n)个不循环位数，其中为任意自然数，为非之其他数。

2.如果，a不是2或5的倍数，并且a与b互质，那么存在一个正整数e，e为的循环节位数，而e=。

表示可以整除a，或称与1同余）

事实上以该参考文献的定理一公式推导式子:来看，也成立，例如与，两者循环小数一致，因为，只差别在商，余数皆为1(同余)故成立。

事实上以该参考文献的定理一公式推导式子:(来看，a与b不互质也成立，因为( - 1)同除以a与b之公因数仍成立。

3.承接以上两点，当除数a可以质因数标准分解式表示成⋯时，会有max(m,n)个不循环位数，和个循环节位数。

其中，, ,⋯,分别各有e1,e2,...,en个循环节位数，存在一个最小公倍数e1,e2,...,en。

例：的循环节个数？

答：前三位不循环（2 和 5 的最高次方为 3），循环节个数是 48（因为的循环节位数为1，7的循环节位数为6，17的循环节位数为16，[1,6,16]=48）

1. 先看有几位“非循环节位数（）”和“循环节位数（）”，算出后，将摆于“分母”。

   “分子”则是将“非循环节部分”和“循环节部分”并为一个数字，将其减去“非循环节部分”，即，详细公式如下。

   公式：

   原理：

   1. 令。

      则──①式。

      ──②式。

      ②－①⇒。

      。

   范例：。

   1. 令

      则、

      两式相减得，

      ∴。

利用短除法可以将分数(有理数，)转化为循环小数。

例如可以用短除法计算如下：

7| 0.42857142857142857...

在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。

使用“上划线”表示，如：

使用“上点”表示，如：

使用“大括号”表示，如：

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性，例如

由于循环小数与进位制系统密切相关，使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如

但在某些进位制当中反而因为循环节较短，使得看起来相当简单。如