三角不等式

在三角形ABC中，这个式子用标量可以写作。

当该式取不等号时，可以由欧几里得第五公设导出；欧几里得给出的证明记载于《几何原本》第一卷命题20：（证明所用的辅助图像见右）

现在，我们有三角形ABC。延长AB至点D，并使BD=BC，联结DC。

那么，三角形BCD为等腰三角形，所以。记它们均为。

根据欧几里得第五公设，角也就是大于角（，也就是）；

由于角对应边AD，角对应边AC，因此AD>AC（大角对大边，命题19）。

又由于DB=BC，所以AD=AB+BD=AB+BC>AC，即证。

如果我们将该式左右各减去BC，便能得到AB>AC-BC，这便是三角不等式的另一种表达方法：三角形的两边之差小于第三边。

当该式取等号的时候，其已经不属于欧氏几何的范畴，这种情况只有可能在球面三角形中出现，此时，而a, b, c为三角形三边的长。

用向量的写法，这个不等式可以写成：

上式和标量的写法明显是等价的。

考虑到，该式也可以写成：，这种情况的形式和下方实数中的形式是一致的。

如果根据向量构建平面直角坐标系，则可以用代数的方式予以证明。

还是以右图中的三角形为例子。假设在坐标系中，向量的方向向量为，向量的方向向量为，

那么因为，得向量的方向向量为。

因此，，。

所以，。

，，

两者相减再配方，得到，该式实际上是的值。

当且仅当时，该式的值为0，而此时我们可以推出，这说明和、和都是平行的。而由于，也就是向量的终点和，也就是向量的起点是相同的，显然和共线。这种情况在欧氏几何中是不可能的，只有在非欧几何的情况下才能成立。用和平行也一样能够推出和共线。

其他任何情况，也就是时，该式取到不等号，适用于欧氏几何。

将向量形式的三角不等式两边减去相同的向量，同样能够推出三角形的两边之差小于第三边。

在实数中，此式依然成立：。

证明如下：

考虑到实数的平方必然是非负数，将两边平方，使它剩下一套绝对值符号：

对于（即a, b彼此异号），；

对于（即a, b彼此同号），。

像几何中的情况一样，该式的推论为：。

在闵可夫斯基空间，三角不等式是反方向的：

||x + y|| ≥ ||x|| + ||y||     对所有 x, y V，使得||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ 0 和 tx ty ≥ 0

这个不等式的物理例子可以在狭义相对论中的双生子佯谬找到。