有理映射

固定概形 。考虑所有的资料 ，其中 是稠密开集，而 是态射；这些资料代表了 上“部分定义”的态射， 代表 的定义域。定义下述等价关系：

此外，注意到稠密性保证 也是 中的稠密开集。当 不可约，则所有非空开集都是稠密的。若再假设 既约而 是分离概形，则任一等价类有唯一一个定义域最大的代表元。

从概形 到 的有理映射 是其中的一个等价类 。

若 是从 到 ， 是从 到 的有理映射，则一般并不能定义其合成 。但是当 的像（对某个，因而对每个代表元 ）在 中稠密时，对每个 的代表元 ， 皆非空，此时可以定义 。

同理，若 与 都是 上的概形，也可以类似地定义 -有理映射。

设 为整环，设 、，则从 到 的任何有理映射 有唯一的表法：

其中 是多项式。该有理映射可以在 上定义。

此外，对于不可约 -概形 ，其上的有理函数一一对应到从 到 的有理映射。

之前考虑合成问题时，曾利用像的稠密性条件；满足该条件的有理映射称为优势映射。由于优势映射可以作合成，定义从概形 到 的双有理等价为一个优势映射 ，使得存在另一个从 到 的优势映射 ，使 、。

以下考虑域 上的不可约代数簇及其间的 -有理映射。有理映射的地位在于：透过有理函数的“拉回”运算，代数簇之间的优势映射对应到函数域之间的映射，而双有理等价对应到函数域的同构。由此可知代数簇的双有理等价范畴等价于函数域的反范畴。

双有理等价的定义较同构宽，因为我们容许态射在某维度较低的闭集上未定义。一个例子是 与 ，两者双有理等价，而并不同构。原因如下： 中的任两条闭曲线都有交点，而在 中， 与 不相交，因而 与 并不同构。

另一方面， 的函数域可以在仿射开集 上计算，此开集的座标环是 ，其函数域是 ；这也是 的函数域，于是二者双有理等价。若细审上述论证，事实上能写出所求双有理等价的式子。