黎曼曲率张量

进一步,由上式定义了如下的三重线性映射

映射关于每一个自变量都是线性的, 故是上的型光滑张量场, 称之为纺射联络空间的曲率张量.在坐标向量场下， 可以表示为

还可以定义四重线性映射，如下

则映射 关于每一个自变量都是 线性的, 故是黎曼流形上的 型光滑张量场, 称之为黎曼流形 的黎曼曲率张量. 在坐标向量场下, 可以表示为

注：上述纺射联络空间 上的曲率张量 与黎曼流形 上的黎曼曲率张量 是同一个对象的不同表现形式.

注 .

黎曼曲率张量有如下的对称性:

最后一个恒等式由里奇发现,但是称为第一比安基恒等式(First Bianchi identity)或代数比安基恒等式(Algebraic Bianchi identity)，因为和下面的比安基恒等式相像。

这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表，也就是给定说任何满足上述恒等式的张量，可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的计算表明这样一个张量有个独立分量。

另一个有用的恒等式可以由上面这些导出:

比安基恒等式(Bianchi identity)，经常也叫第二比安基恒等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恒等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到协变导数:

给定流形某点的任一坐标表示，上述恒等式可以用黎曼曲率张量的分量形式表示为:

第一（代数）比安基恒等式：或等价地写为

第二（微分）比安基恒等式：或等价地写为

其中方括号表示对下标的反对称化，分号表示协变导数。这些恒等式在物理中有应用，特别是广义相对论。