正八边形
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面积
由中点向各顶点连线得到 8 个等腰三角形,设八边形最长对角线为 2a,则等腰三角形腰长 a,用正弦定理计算三角形的面积。得 (1÷2)×(a2×sin(2π/8))=(1÷2)×(a2×sin(π÷4)),所以正八边形的面积为4×a2×sin(π÷4)
设正八边形内最长对角线长为 a,最短对角线长为 b,则正八边形面积面积为 a×b
已知边长为 a 时,又有:S=(2+2√2)×a2≈4.828×a2推导:正八边形可以分割成四个小三角形,四个小长方形以及中央部分的一个正方形。四个小三角形的面积和为:(√2÷(2×a))×(√2÷(2×a)×(1÷2)×4=a2,四个小长方形面积之和为:(√2÷(2×a))×a×4=(2√2)×a2,中间的正方形面积为a2,所以正八边形面积公式为:a2+(2√2)×a2+a2=(2+2√2)a2
已知中心到各点的长(外接圆半径)为 R,则正八边形面积为 2√2×R2
已知正八边形面积S,则其外接圆的面积S外接圆=S÷(√2/4);若已知正八边形外接圆面积S外接圆,则其面积S=S外接圆×(√2/4)
周长和边长
若已知其面积S,则其边长a=√(S÷(2+2√2)),周长 A=8×(√(S÷(2+2√2)))
若已知其最长对角线,则通过面积公式可以换算其边长
若已知其边长 a,则周长 A=8×a
若已知其外接圆半径,则按照面积公式换算
最长对角线和最短对角线
若已知正八边形面积 S,则正八边形的最长对角线为 2×√(S÷ Sin(π / 4) / 4)。最短对角线为S÷最长对角线。
周长
边长长度乘以8,即可。
尺规作图
用直尺和圆规画正八边形的方法如下:
做正方形ABCD,并做正方形外接圆O.
过圆心O向任意一边(设为AB)作垂线并延长,延长线交圆弧于E、F.
以AE、DE为半径画弧,得到与圆O的交点,分别为G、H.
连接EAGBFCHD.
擦除其他对象,即得正八边形EAGBFCHD.
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