微分几何初步

《微分几何初步》是北京大学数学系微分几何课程的教材。主要讲述三维欧氏空间中曲线和曲面的局部理论，内容包括：预备知识，曲线论，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式，曲面论基本定理，测地曲率和测地线，活动标架和外微分法。另有附录叙述了《微分几何初步》所用的微分方程的定理，并介绍了张量的概念。《微分几何初步》力图向近代微分几何的语言和方法靠近，因此在讲述时尽量结合现代流形的概念，并且自始至终使用附属在曲线、曲面上的标架场，对外微分形式有相当详细的介绍。《微分几何初步》叙述深入浅出，条理清楚，论证严密，突出几何想法，便于读者理解与掌握。

《微分几何初步》可作为综合大学及高等师范院校的微分几何课程教材，也可作为高等教育自学考试的教学参考书。

陈维桓，北京大学数学科学学院教授，博士生导师。1964年毕业于北京大学数学力学系，后师从吴光磊先生读研究生。长期从事微分几何方向的研究工作和教学工作，开设的课程有“微分几何”、“微分流形”、“黎曼几何引论”和“纤维丛的微分几何”等。已出版的著作有：《微分几何讲义》(与陈省身合著)，《黎曼几何选讲》(与伍鸿熙合著)，《微分几何初步》，《微分流形初步》，《极小曲面》，以及《黎曼几何引论》(上、下)(与李兴校合编著)等。

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绪论

第一章预备知识

1标架

2向量函数

第二章曲线论

1参数曲线

2曲线的弧长

3曲线的曲率和Frenet标架

4挠率和Frenet公式

5曲线论基本定理

6曲线在一点的标准展开

7平面曲线^[1]

第三章 曲面的第一基本形式

1曲面的定义

2切平面和法线

3曲面的第一基本形式

4曲面上正交参数曲线网的存在性

5保长对应和保角对应

6可展曲面

第四章 曲面的第二基本形式

1第二基本形式

2法曲率

3 Gauss映射和Weingarten映射

4主方向和主曲率的计算

5 Dupin标形和曲面在一点的标准展开

6某些特殊曲面

第五章曲面论基本定理

1 自然标架的运动公式

2曲面的唯一性定理

3曲面论基本方程

4曲面的存在性定理

5 Gauss定理

第六章测地曲率和测地线

1测地曲率和测地挠率

2测地线

3测地坐标系

4常曲率曲面

5曲面上切向量的平行移动

6 Gauss—Bonnet公式

第七章活动标架和外微分法

1外形式

2外微分

3 E3中的标架族

4曲面上的标架场

5曲面上的曲线

附 录

1关于常微分方程的几个定理

2一阶偏微分方程组的可积性

3张量

索 引^[1]