狄利克雷特征

        狄利克雷特征指有下面性质、由整数到复数的函数：存在正整数k使得对于任意n都有χ(n) = χ(n+k)
        对于任意m,n，χ(mn) = χ(m) χ(n)  χ(1)=1 
  
        首个条件说明特征是一个以k为周期的函数，其余两个条件说明它是完全积性函数。
 
        若果特征的周期不是1，由周期性和完全积性可知，特征的值若非单位根便是0。当且仅当gcd(n,k)>1，χ(n)=0。

       实特征指值域为实数的特征，它的值只限于 { − 1,0,1}。
       若一个特征对于所有与k互质的整数的值都为1，则称为主特征。
       若p为素数，勒让德符号(n|p)便是狄利克雷特征的例子。

            狄利克雷特征
           Dirichlet character

        数论中重要的基本概念之一，为P.G.L.狄利克雷所引进的模的特征,通常称之为狄利克雷特征。它可以用不同的方法来定义。这里采用如下定义: 设[121-20],(1)是不同的奇素数,是模[121-21]的最小正原根，以及
       [121-22]其中()是不超过，且与互素的正整数个数。对于任给的一组整数,,,…,，把定义在整数集合上的函数
　   [121-23]称为模[121-0]的特征，其中，，，…, 是 对模[121-0]的一个指数组，即[121-24],[121-25],1。为了着重指出特征 ()是属于模[121-0]的, 经常采用记号()或()mod[121-0]。有关特征的基本知识如下：
       ① 设()是模的特征,当(, [121-0])=1时恒有()=1，则称 ()为模[121-0]的主特征、记为(); 不然就称为非主特征。只取实值的特征称为实特征，其他的称为复特征。函数[121-26]也是模[121-0]的特征，称为()的共轭特征。
   　② 模的特征（）是以 为周期的周期函数，即(+[121-0])=()。此外，(1)=1,｜()｜=1,(,[121-0])=1。
       ③ 特征()是完全积性函数，即对任意整数,有[121-27]，因此(-1)=1。
　   ④ 对于一个固定的模, 有且仅有()个不同的模[121-0]的特征。
　   ⑤ 设()是模的特征，则有
　       [121-28]
　    ⑥ 设1,(,[121-0])=1，则有
    　[121-29]式中Σ表对模[121-0]的所有不同的特征求和。
    　⑦ 设()是模的非主特征,如果存在正整数<，使得对所有满足条件(,)=(,)=1,≡(mod)的、有()=(),那么就称()为模的非原特征；否则就称为模的原特征。
　    狄利克雷特征的主要作用在于：利用性质⑥，可以从一个给定的整数序列中,把属于某个公差为的算术级数的子序列分离出来。因此，它在涉及算术级数的许多数论问题诸如算术级数中的素数定理、哥德巴赫猜想的研究中，起着关键的作用。