CIR模型

CIR模型把 期限结构视为一种随机过程，它是 利率的一种总体均衡模型。该模型的基础是，个人从 消费单一商品中取得的预期 效用达到最大化。在实现 效用最大化过程中，每一个人选择：

1、最佳 消费水平。

2、财富中投资于每个生产过程的最佳比例。

3、财富中投资于各种或有债权债券的最佳比例。

然后，剩余的财富按短期无 风险 利率进行投资，如果不存在剩余，而是出现短缺，则通过借款来弥补短缺。根据 科克斯等人的观点，随着个人做出选择，并实现 效用最大化， 短期利率和 债券 预期收益率会出现调整直至所有的财富都投资于实物生产为止。该均衡过程就被称为总体均衡概念。CIR模型的特点是，对于所有期限的 债券来说， 风险—收益比例相同， 套利是导致这种现象的力量。

CIR模型认为， 利率围绕一个平均值波动，如果利率偏离了平均值，它总是要回到平均值的。 利率回到平均值的时间由模型中的调整速度描述。如果调整速度接近于1， 利率将很快回到平均值。用△r表示 利率的变化，r表示现行 短期利率，R表示平均利率，a表示r的调整速度，δ表示期望值为0的误差项，可以得到基本的 单因素模型 公式如下：

△r=a（R-r）+δ

通过重点分析纯 贴水金融工具， 科克斯等人试图勾画出 债券价格行为背后的随机过程。在单一 因素模型中，他们假设技术状态用单一状态变量来表示。他们发现， 债券的 实际价格是 短期利率的递减的凸形 函数，这就是说，各种利率同步变化。此外，与 复利的数学计量相符， 债券价格是期限的递减 函数。更加令人感兴趣的结论是， 债券价格是 利率与财富之间协方差的递增 函数。在协方差较大的条件下，财富值大，则 利率高， 债券价格低；财富值小，则利率低，债券价格高。这种理想的资产拥有正的 边际效用，因而影响着财富的价值。

在CIR模型中， 债券价格还是 利率方差的递增的凹形 函数。 科克斯等人认为，较高的方差反映了未来实际生产机会具有较大的不确定性，因而未来的 消费具有较大的不确定性， 风险回避投资者就会对 债券定价较高，而它的某些收益与各种经济状况有关。总体而言，CIR模型认为，在大多数情况下， 利率期限结构中包含着正值的期限 溢价。根据该模型， 期限结构曲线任何一点上 收益率的变化都与曲线高一点上收益率的变化完全相关。此外， 长期利率收敛于正常利率即前面 公式中的平均值，因此长期利率可以被视为CIR模型 期限结构所围绕的核心。调整系数是一项重要的回归参数，它告诉我们， 长期利率在何种程度上迅速地向正常利率回归。

科克斯—英格索尔—罗斯把他们的模型扩展到债券以外的其他 证券——这些证券的偿付取决于 利率——如债券的 期权和 期货合同。另外他们探讨了 期限结构的 多因素模型。更新的CIR模型是两因素的。两 因素模型认为，随着时间的推移， 短期利率将趋向 长期利率水平。与 单因素模型描述 短期利率，认为短期利率趋向一个平均值不同，两因素模型将利率的变化描述为两种随机过程，即短期利率的随机过程和 长期利率的随机过程。在对诸如 长期利率期权等相关 证券定价时，这种形式很有用处。

期限结构的CIR模型的优点是它产生于经济中的 内在经济变量和总体均衡。因此，它包含了 风险回避、时间 消费偏好、财富限制、导致 风险补偿的因素和众多的投资选择。尽管该 公式具有众多优点，但是它太复杂，在估算 经济参数、 风险参数和进行现实预测方面产生困难。使用CIR模型的研究者试图简化假设，并简化该模型中包括的连续数学计算，可以推导出 债券以及其他金融工具的定价 公式。