垂足三角形

垂足三角形是一种特殊三角形，指从三角形的三个顶点向对边作垂线段(即高)，连结三个垂足所得的三角形。如图，为的高，则是的垂足三角形，如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三条边上，则该三角形称为另一个三角形的内接三角形，锐角三角形的垂足三角形必是它的内接三角形，在锐角三角形的所有内接三角形中，以垂足三角形的周长为最短，该问题称为施瓦兹三角形问题^[1]。

图1

如图2，在锐角三角形中，于D，于E，于F，则叫的垂足三角形。不难证明，原三角形的垂心是它的垂足三角形的内心：由四点共圆，推出是的余角。同理，由四点共圆，知，也是的余角，所以是的平分线。同理是的平分线^[2]。

图2

如图3，的垂心H的切瓦三角形（见下文）或称是它的射影三角形是垂足三角形(Orthic Triangle)，也称为高线三角形，垂足也是重心G的圆切瓦三角形，如图3^[3]。

图3

垂足三角形各顶点的三线坐标矩阵是

它的面积是

它的三条边长是

对于钝角和直角三角形，垂足三角形的半周长可以用下式表示

对于锐角三角形有一简化公式

在锐角三角形中，任何内接三角形中以垂足三角形的周长最小。在中，作出三个三角形的共轭重心，则它们分别在的三条中线上，如图4。

图4

如果作出的欧拉线，则三条欧拉线交于一点，该点在的九点圆上。若该点定为P，则下列等式中必有一个成立

给定及其平面上，但不在三角形边上的一点P，联结交对应边于则称为P点关于的切瓦三角形(Cevian Triangle)，如图5。

图5