分数阶微积分

在这个上下文中，幂指数反复使用，和

中的平方意义相同。例如，可以提出如何解释如下符号的问题

作为微分算子的平方根（半次操作），也就是一种算子操作两次以后可以有微分的效果。

更一般的，

对于实数值的n，使得当n为整数时，若n>0,它等同于通常的幂n次操作，当n<0,它等同于n次积分J。

讨论这个问题有几个原因。一个是，这样幂D组成的半群可以看作一个连续的半群中取离散值的部分。连续半群在数学上有很好的研究，有一个有趣的理论。注意，分数是个错误的记号，因为指数可以取非有理数，但是分数微积分已成为习惯用法。

一个很自然的想法是问，是否存在一个算子起到半导数的作用，即使得：

结论是：这样的算子是存在的，对于任意,存在一个算子,满足：

或者换一个说法,的定义可以从正整数n扩充到所有的实数n.

在这里我们引入Γ函数将阶乘扩展到实数和复数域上.Γ函数的定义如下：

假设对函数在0到x上求积分，我们可以形式的定义积分算子J:

重复这个过程，可得：

这个过程可以任意的重复下去。

利用重复积分的柯西公式，即：

我们可以直截了当的写出任意实数n的积分算子。

直接利用函数将离散的阶乘扩展为连续的函数。我们可以自然的得到分数积分算子的表达形式

这个算子定义明确而且具有良好的性质。

可以证明J算子满足如下关系

这个性质叫微分积分算符的半群性。然而用类似方法定义微分算子将变得相当困难，而且定义出来的微分算子D一般来说不对易也不具有叠加性。

这个动画展示了不同分数微分算子如何操作在y=x（蓝色），结果（绿色）在一般的积分（，紫色）及一般的一次微分（，红色）间连续变化。

假设有一个函数

。它的一阶导数一般是：

。重复这一过程，得到更一般的结果：

，将阶乘用伽玛函数替换，可得：

。当k = 1,并且a = 1/2时我们可以得到函数的半导数：

。重复这一过程，得：

，这正是期望的结果：

。

以上微分算子的扩展不仅仅局限于实数次。举个例子，阶导数作用后，阶导数再作用，可以得到二阶导数。同时如果a为负则可为求积分。

分数微分可以得到上述相同的结果（当）。

对于任意的,由于伽玛函数的参数在实数部为负整数时没有定义，需要在分数微分前先进行整数微分。例如

WKB近似

对于一个一维的量子系统进行准经典的近似时，系统哈密顿量中的倒数可由对态密度的半阶微分求出

这里采用了自然单位制，即。