埃尔米特插值

埃尔米特插值是另一类插值问题，这类插值在给定的节点处，不但要求插值多项式的函数值与原函数值相同。同时还要求在节点处，插值多项式的一阶直至指定阶的导数值，也与被插函数的相应阶导数值相等，这样的插值称为埃尔米特(Hermite)插值。 Hermite插值在不同的节点，提出的插值条件个数可以不同，若在某节点，要求插值函数多项式的函数值，一阶导数值，直至阶导数值均与被插函数的函数值相同及相应的导数值相等。我们称为重插值点节,因此，Hermite插值应给出两组数，一组为插值点节点，另一组为相应的重数标号。
若，这就说明了给出的插值条件有个，为了保证插值多项式的存在唯一性，这时的Hermite插值多项式应在上求得，于是可作如下定义。

为 上充分光滑函数，对给定的插值定节，及相应的重数标号，时，若有满足

则称 为关于节点及重数标号的Hermite插值多项式。

常用的Hermite插值为m_i=2 的情况，即给定的插值节点{x_i}ⁿ_i=0 均为二重节点，更具体些，，及插值节点{x_i}ⁿ_i=0，若有满足

，就称H_{2n + 1}(x)为f(x) 关于节点{x_i}ⁿ_i=0 的二重Hermite插值多项式。

f(x)关于节点{x_i}ⁿ_i=0的二重Hermite插值多项式存在且唯一。

若，则为f(x)关于上节点{x_i}ⁿ_i=0的二重Hermite插值多项式误差为

这里

min{x0,x1,...,xn,x}≤ξ=ξ(x)≤max{x0,x1,...,xn,x}