Z转换

现在所知的Z变换的基本思想，拉普拉斯就已了解，而1947年W. Hurewicz用作求解常系数差分方程的一种容易处理的方式。 后来由1952年哥伦比亚大学的采样控制组的雷加基尼和查德称其为“Z变换”。

E. I. Jury后来发展并推广了改进或高级Z变换。

Z变换中包含的思想在数学里称作母函数方法，该方法可以追溯到1730年的时候，棣莫弗与概率论结合将其引入。从数学的角度，当把数字序列视为解析函数的（洛朗）展开时，Z变换也可以看成是洛朗级数。

像很多积分变换一样，Z变换可以有单边和双边定义。

双边Z变换把离散时域信号 x[n] 转为形式幂级数 X(Z)。

当中 是整数， 是复数变量，其表示方式为

其中 A 为 z 的模，j 为虚数单位，而 ɸ 为幅角（也叫相位角），用弧度表示。

另外，只对 n ≥ 0 定义的 x[n]，单边Z变换定义为

在信号处理中，这个定义可以用来计算离散时间因果系统的单位冲激响应。

单边Z变换的一个重要例子是概率母函数，其中 x[n] 部分是离散随机变量取 n 值时的概率，而函数 X(z) 通常写作 X(s)，用 s = z⁻¹ 表示。Z变换的性质（在下面）在概率论背景下有很多有用的解释。

地球物理中的Z变换，通常的定义是 z 的幂级数而非 z⁻¹ 的。例如，Robinson、Treitel和Kanasewich都使用这个惯例。 地球物理定义为：

这两个定义是等价的；但差分结果会有一些不同。例如，零点和极点的位置移动在单位圆内使用一个定义，在单位圆外用另一个定义。因此，需要注意特定作者使用的定义。

逆Z变换为

其中 C 是完全处于收敛域（ROC）内的包围原点的一个逆时针闭合路径。在 ROC 是因果的情况下（参见例2），这意味着路径 C 必须包围 X(z) 的所有极点。

这个曲线积分的一个特殊情形出现在 C 是单位圆的时候（可以在ROC包含单位圆的时候使用，总能保证 X(z) 是稳定的，即所有极点都在单位圆内）。逆Z变换可以化简为逆离散傅里叶变换：

有限范围 n 和有限数量的均匀间隔的 z 值的Z变换可以用Bluestein的FFT算法方便地计算。离散时间傅里叶变换 (DTFT)—不要与离散傅里叶变换（DFT）混淆—是通过将 z 限制在位于单位圆上而得到的一种Z变换的特殊情况。

收敛域（ROC）是指Z变换的求和收敛的复平面上的点集。

令 x[n] = (0.5)ⁿ。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 成为

观察上面的和

因此，没有一个 z 值可以满足这个条件。

ROC用蓝色表示，单位圆用灰色虚点圆表示（外圈者，而 |z| = 0.5 这个圆用虚线圆表示（内圈者）

令 （其中 u 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 得到

观察这个和

最后一个等式来自无穷几何级数，而等式仅在 |0.5z⁻¹| < 1 时成立，可以以 z 为变量写成 |z| > 0.5。因此，收敛域为 |z| > 0.5。在这种情况下，收敛域为复平面“挖掉”原点为中心的半径为 0.5 的圆盘。

ROC用蓝色表示，单位圆用灰色虚点圆表示（用眼睛看会呈红色），而 |z| = 0.5 这个圆用虚线圆表示

令 （其中 u 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 得到

观察这个和

再次使用无穷几何级数，此等式只在 |0.5⁻¹z| < 1 时成立，可以用 z 为变量写成 |z| < 0.5。因此，收敛域为 |z| < 0.5。在这种情况下，收敛域为中心在原点的半径为 0.5 的圆盘。

本例与上例的不同之处仅在收敛域上。这是意图展示只有变换结果是不够的。

实例2和3清楚地表明，当且仅当指定收敛域时，x[n] 的Z变换 X(z) 才是唯一的。画因果和非因果情形的零极点图表明，在这两种情况下收敛域都不包含极点位于 0.5 的情形。这可以拓展到多个极点的情形：收敛域永远不会包含极点。

在例2中，因果系统产生一个包含 |z| = ∞ 的收敛域，而例3中的非因果系统产生包含 |z| = 0 的收敛域。

ROC表示为蓝色圆环 0.5 < |z| < 0.75

在有多个极点的系统中，收敛域可以既不包含 |z| = ∞ 也不包含 |z| = 0。画出的收敛域与一个圆形带。例如，

的极点为 0.5 与 0.75。收敛域会是 0.5 < |z| < 0.75，不包含原点和无穷大。这样的系统称为混合因果系统，因为它包含一个因果项 (0.5)ⁿu[n] 和一个非因果项 −(0.75)ⁿu[−n−1]。

一个系统的稳定性可以只通过了解收敛域来确定。如果收敛域包含单位圆（即 |z| = 1），那么系统是稳定的。在上述系统中因果系统（例2）是稳定的，因为 |z| > 0.5 包含单位圆。

如果给定一个没有收敛域的Z变换（即模糊的 x[n]），可以确定一个唯一的 x[n] 满足下列：

稳定性

因果性

如果你要稳定性，收敛域必须包含单位圆；如果你需要一个因果系统，收敛域必须包含无穷大，并且系统函数应为一个右边序列。如果你需要一个非因果系统，那么收敛域必须包含原点，且系统函数为左边序列。如果你既要稳定性，也要因果性，系统函数的所有极点都必须在单位圆内。

可以找到唯一的 x[n]。

Z变换性质

	时域	Z域	证明	收敛域
记法
线性				包含 ROC1 ∩ ROC2
时间膨胀	r: 整数
降采样			或
时移				ROC，除了 k > 0 时 z = 0 和 k < 0 时 z = ∞
Z域的 尺度性质
时间反转
共轭复数
实部
虚部
微分
卷积				包含 ROC1 ∩ ROC2
互相关				包含 与 的ROC的交集
一阶差分				包含 X1(z) 与 z ≠ 0 的ROC的交集
累积
乘法				-

帕塞瓦尔定理

初值定理：如果 x[n] 为因果的，那么

终值定理：如果 (z−1)X(z) 的极点在单位圆内，则

这里：

是单位阶跃函数而

是离散时间单位冲激函数。两者通常都不认为是真正的函数，但由于它们的不连续性把它们看成是分布（它们在 n = 0 处的值通常无关紧要，除非在处理离散时间的时候，它们会变成衰减离散级数；在本章节中对连续和离散时间域，都在 n = 0 处取 1，否则不能使用下表中收敛域一栏的内容）。同时列出两个“函数”，使得（在连续时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的积分，或（在离散时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的求和，因此要令他们的值在 n = 0 处为 1。

	信号，	Z变换，	ROC
1		1	所有 z
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

对于区域 |z|=1（称为单位圆）内的 z 值，我们可以通过定义 z=e^jω 来用单一实变量的函数来表示该变换。于是双边变换就简化为了傅里叶级数：

也被称作 x[n] 序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）。这个以 2π 为周期的函数是傅里叶变换的周期性求和，这使得它成为广泛使用的分析工具。要理解这一点，令 X(f) 为任意函数 x(t) 的傅里叶变换，该函数以某个间隔 T 采样就与 x[n] 序列相等。于是 x[n] 序列的DTFT可以写作：

若T的单位是秒，的单位即为赫兹。比较两个数列可得  为标准化频率，单位是radians per sample。数值ω=2π对应 Hz. ，而且在替换 后，  Eq.1可以表示为傅里叶变换X(•):

若数列x(nT)表示线性时不变系统的冲激响应，这些函数也称为频率响应，当x(nT)是周期性数列，其DTFT在一或多个共振频率发散，在其他频率均为零。这一般会用在共振频率，振幅可变的狄拉克δ函数表示。因为其周期性，只会有有限个振幅，可以用较简单许多的离散傅里叶变换来计算。（参照离散傅里叶变换#周期性）

双线性变换可以用在连续时间滤波器（用拉氏域表示）和离散时间滤波器（用Z域表示）之间的变换，其变换关系如下：

将一个拉氏域的函数变换为Z域下的，或是

从Z域变换到拉氏域。借由双线性变换，复数的s平面（拉氏变换）可以映射到复数的z平面（Z变换）。这个变换是非线性的，可以将S平面的整个jΩ轴映射到Z平面的单位圆内。因此，傅里叶变换（在jΩ axis计算的拉氏变换）变成离散时间傅里叶变换，前提是假设其傅里叶变换存在，也就是拉氏变换的收敛区域包括jΩ轴。

线性常系数差分（LCCD）方程是基于自回归滑动平均的线性系统表达形式。

上面等式两边可以同时除以 α₀，如果非零，正规化 α₀ = 1，LCCD方程可以写成

LCCD方程的这种形式有利于更加明确“当前”输出 y[n] 是过去输出 y[n−p]、当前输入 x[n] 与之前输入 x[n−q] 的一个函数。