费马引理

设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的，有

或

那么。

费马引理的一个推论是，函数f在定义域A内的最大值和最小值只能在边界上，不可导的点，或驻点取得。

假设是一个极大值点（如果是极小值点，证明亦类似）。那么存在一个，使得对于所有的，都有。因此对于任何，有：

由于当从上方趋于0时，这个比值的极限存在且为，我们便有。另一方面，当时，我们注意到：

当从下方趋于0时，这个极限存在，且等于，我们又有。

因此。