三角形重心

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。三角形重心

例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG

证明：过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF( 平行线分线段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG 三角形重心

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

证明方法：

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：

OA'=1/3AA'

OB'=1/3BB'

OC'=1/3CC'

过O，A分别作a边上高OH'，AH

可知OH'=1/3AH

则，S △BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S △ABC

同理可证S △AOC=1/3S △ABC

S △AOB=1/3S △ABC

所以，S △BOC=S △AOC=S △AOB

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）

证法一：

设三角形三个顶点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3) 平面上任意一点为（x 0，y 0） 则该点到三顶点距离平方和为：

(x 1-x 0) 2+(y 1-y 0) 2+(x 2-x 0) 2+(y 2-y 0) 2+(x 3-x 0) 2+(y 3-y 0) 2

=3x 0 2-2x 0(x 1+x 2+x 3)+3y 0 2-2 0y(y 1+y 2+y 3)+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2

=3[x 0-1/3*(x 1+x 2+x 3)] 2+3[y 0-1/3*(y 1+y 2+y 3)] 2+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1+x 2+x 3) 2-1/3(y 1+y 2+y 3) 2

显然当x=(x 1+x 2+x 3)/3,y=(y 1+y 2+y 3)/3（ 重心坐标）时

上式取得最小值x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1+x 2+x 3) 2-1/3(y 1+y 2+y 3) 2

最终得出结论。

证法二：由性质8（卡诺重心定理）可得出结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，

即其坐标为[(X 1+X 2+X 3)/3,(Y 1+Y 2+Y 3)/3]；

空间 直角坐标系—— 横坐标：(X 1+X 2+X 3)/3， 纵坐标：(Y 1+Y 2+Y 3)/3

5、三角形内到三边距离之积最大的点。三角形重心

证明：如图所示，点P是△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，作点P到BC、AC、AB的垂线段，垂足分别为D、E、F，延长AP交BC于M。记△ABC的面积为S，BC为a，AC为b，AB为c，PD为a'，PE为b'，PF为c'。

∵aa'/2+bb'/2+cc'/2=S△BCP+S△ACP+S△ABP=S

∴aa'+bb'+cc'=2S

由 均值不等式知，[(aa'+bb'+cc')/3]^3≥aa'bb'cc'=(abc)*(a'b'c')，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。

∴a'b'c'≤[(aa'+bb'+cc')/3]^3/(abc)=(S/3)^3/(abc)=S^3/(27abc)，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。

∴a'b'c'只有当aa'=bb'=cc'时才会取得最大值。

此时，S△ABP=cc'/2=bb'/2=S△ACP，由 燕尾定理知，BM/CM=S△ABP/S△ACP=1。

∴此时BM=CM，M是BC的中点，AM是△ABC的中线，P在△ABC中BC边的中线上。

同理可证此时P在△ABC中AB、AC边的中线上。

∴当a'b'c'最大时，P是△ABC的重心，即重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。

7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）

8、卡诺重心定理：若G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^2

证明：GA^2 + PG^2 = PA^2 + 2GA*PGcos(AGP)

　　GB^2 + PG^2 = PB^2 + 2GB*PGcos(BGP)

　　GC^2 + PG^2 = PC^2 + 2GC*PGcos(CGP)

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]

　　延长射线AG,交BC于D,继续延长,使得GD = DE = AG/2.

　　连接EB,EC,

　　四边形GBEC为平行四边形.

　　EB = GC

　　延长射线PG,

　　过点B作PG的延长线的垂线,垂足为F.

　　过点E作PG的延长线的垂线,垂足为H.

　　BE与PG的延长线的交点为点Q.

　　则,因GC//BE,角CGP = 角EQG = 角BQF

　　GH = GE*cos(EGH) = GA*cos(AGP)

　　HF = EB*cos(BQF) = GC*cos(EQG) = GC*cos(CGP)

　　而

　　GH + HF = GF = GB*cos(BGF) = GB*cos(PI-BGP) = -GB*cos(BGP),

　　因此,

　　GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP) = 0,

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2

三角形重心　　= PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]

　　= PA^2 + PB^2 + PC^2

　　利用上面的结论,

　　令P与A重合,有

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GA^2

　　= AB^2 + AC^2 ...(1)

　　令P与B重合,有

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GB^2

　　= AB^2 + BC^2 ...(2)

　　令P与C重合,有

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GC^2

　　= BC^2 + AC^2 ...(3)

　　(1),(2),(3)相加,有

　　3[GA^2 + GB^2 + GC^2] + 3[GA^2 + GB^2 + GC^2] = 2[AB^2 + BC^2 + AC^2],

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 = [AB^2 + BC^2 + AC^2]/3 = (a^2 + b^2 + c^2)/3.

　　证毕.

三角形重心(3)三条中线必相交，交点命名为“重心”

重心分割中 线段，线段之比二比一；

三角形重心

O是重心，向量OA+向量OB+向量OC=零向量。