戴德金整环

戴德金整环指的是有乘法单位元素 ，并具备下述性质的交换诺特整环 ：

1. 不是域。

   的非零素理想皆为极大理想。

   整闭。

前两条可合并为： 之克鲁尔维度等于一。另一种表述方式如下：

1. 对任意极大理想之局部化为离散赋值环。

   的非零理想皆可逆。换言之：对任意理想 ，存在 的分式环 中的有限生成 -子模 ，使得 。

主理想环与域上的多项式环皆为戴德金整环。

交换代数的一条定理断言：若 是戴德金整环， 为其分式域， 是有限扩张，则 在 中的整闭包也是戴德金整环。

是最基本的例子，再配合前述定理，可知数域中的代数整数环皆为戴德金整环。这是戴德金整环在代数数论中的主要应用，也是戴德金引介此概念的原始动机。

戴德金整环的分式理想定义为分式环 中形如 之 -子模，其中 而 是 中的理想。分式理想之间可以定义乘法 ，因而非零分式理想构成一个么半群，其单位元素为 。戴德金整环的性质保证此结构是一个群，换言之，任何非零分式理想皆可逆。

若一理想 可由某元素 生成，则称之主理想；可采类似办法定义主分式理想。

此外，戴德金整环中的分式理想有唯一分解性：任意分式理想 可唯一地表成

其中 过有限个 的素理想，。 是理想当且仅当 。

在一般的数域 上，代数整数未必能唯一地表成素数的乘积，但可唯一表成素理想的乘积。在所有理想中，仅有主理想对应到“真正”的代数整数。此时重要的不变量是理想类群与类数，它们量度了理想与主理想的差距：

(分式理想)/(主分式理想)

可证明理想类群总是有限交换群。