集合划分

集合的划分是的非空子集的集合，使得所有的元素都精确在这些子集的其中一个内。

等价的说，的子集的集合是的划分，如果

没有的元素是空集。(-某些定义不需要这个要求)的元素的并集等于。(我们称的元素。)的任何两个元素的交集为空。(我们称的元素是两两不相交。)的元素有时叫做划分的或。

当我们说“集合”这个概念时，划分的思想已经存在了。当我们说给定一个集合时，也就给定了该集合的补集。一个集合与它的补集就已经构成了一个划分。因此说上面的定义是再次划分的定义。可以说划分和定义是一个概念。原始定义也就是初始划分。原始定义和公理又是一个概念。给定一个公理也就是给定一个划分。

所有单元素集合{}都有精确的一个划分就是{{}}。对于任何集合，={}是的一个划分。空集有精确的一个划分，就是没有块的划分。对于集合的任何非空真子集，和它的补集一起是的一个划分。如果我们不使用前面定义中的公理1，则上述例子可以推广为任何(空和非空)子集与它的补集一起是一个划分。集合{1,2,3}有五个划分。{{1},{2},{3}}，有时指示为1/2/3。{{1,2},{3}}，有时指示为12/3。{{1,3},{2}}，有时指示为13/2。{{1},{2,3}}，有时指示为1/23。{{1,2,3}}，有时指示为123。注意如果我们使用了前面定义中的公理1，则{{},{1,3},{2}}不是一个划分(因为它包含空集)；否则它是{1,2,3}的一个划分。{{1,2},{2,3}}不是(任何集合的)一个划分，因为元素2包含在多于一个不同的子集中。{{1},{2}}不是{1,2,3}的一个划分，因为没有块包含3；但它是{1,2}的一个划分。

如果一个等价关系给出在集合上，则所有等价类的集合形成的一个划分。反过来说，如果一个划分给出在上，我们可以定义在上的写为~的等价关系，当且仅当存在的一个成员包含和二者。“等价关系”和“划分”的概念因此本质上是等价的。