第一型曲面积分

设为空间中的曲面，为定义在上的函数．对曲面作分割，它把分成个可求面积的小曲面片，的面积记为，分割的细度为，在上任取一点, 若存在极限

且它的值与分割及点的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲线积分^[1]，记为

或者简写成。

设空间曲面S的方程为，，其中为曲面S在平面上的投影域，函数在曲面S上连续，如果在上有连续的一阶偏导数，则有

其中是在上的投影域，和表示在内某点处的两个偏导数。由第一型曲面积分的定义，于是将第一型曲面积分化为二重积分的计算^[1]

表示以为面密度的空间曲面S的“质量”，即将空间曲面S想象成一块光滑的（可微的）不折叠的（单值的）质量分布服从的薄板，故在S上的第一型曲面积分就是薄板的代数质量^[2]。

第一型曲面积分具有下述一些重要性质^[1]:

1)．若存在，为常数，则也存在，且

2)．若曲面由互不相交的曲面块组成，且都存在，则也存在，且

3)．若与都存在，且在上, 则

4)．若存在，则也存在，且

下面给出二个常用的应用。

1)空间曲面S的重心坐标为^[2]

2)曲面S绕z轴(x, y轴)的转动惯量是^[2]

其中为曲面的密度函数。