无穷性公理

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中，这个公理读作：

或用非形式化的语言陈述：存在一个集合 N，使得空集在 N 中，并且只要 x 是 N 的成员，则x 与它的单元素集合 {x} 此两者的并集也是 N 的成员。这种集合有时也叫做归纳集合。归纳集合是带有如下性质的集合 X ：对于所有 x ∈ X， 的后继 x ' 也是 X 的一个元素。

要理解这个公理，首先我们要定义 x 的后继为 x ∪ {x}。注意配对公理允许我们形成单元素集合 {x}。后继是用来定义自然数的常用的集合论编码。在这种编码中，0是空集（0 = {}），而 1 是 0 的后继：

1 = 0 ∪{0} = {} ∪ {0}= {0}

类似地，2 是1 的后继：

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0,1}

如此类推。这个定义的推论是对于任何自然数n，n等同于由它的所有前驱（predecessor）组成的集合。

我们希望可以形成包含所有自然数的一个集合，但是只使用其他ZF公理的话并不能做到这一点。因此，有必要加入无穷公理以假定这个集合的存在。它是通过类似于数学归纳法的方法完成的：首先假定有一个集合 S 包含零，并接着规定对于 S 的所有元素，这个元素的后继也在 S 中。

这个集合 S 可以不只是包含自然数，还包含别的元素。但是我们可以应用分类公理模式来除去不想要的元素，留下所有自然数的集合 N。通过外延公理可知这个集合是唯一的。应用分类（分离）公理的结果是：

用非形式化的语言陈述：所有自然数的集合存在；这里的自然数要么是零，要么是一个自然数k的后继，并且k的每个元素要么是0要么是k的另外一个元素的后继。

所以这个公理的本质是：

有一个集合包含所有的自然数。

无穷公理也是von Neumann-Bernays-Gödel 公理之一。