偏差平方和

在单因素实验中，为了使造成各随机变量之间的差异的大小能定量表示出来，引入：

记在水平下样本和为，其样本均值为因素A下的所有水平的样本总均值为

为了通过分析对比产生样本

之间差异性的原因，从而确定因素A的影响是否显著，我们引人偏差平方和来度量各个体间的差异程度

因能反映全部试验数据之间的差异，所以又称为总偏差平方和^[2]。

如果成立，则r个总体间无显著差异，也就是说因素A对指标没有显著影响，所有的可以认为来自同一个总体，各个间的差异只是由随机因素引起的，若不成立，则在总偏差中，除随机因素引起的差异外，还包括由因素A的不同水平的作用而产生的差异，如果不同水平作用产生的差异比随机因素引起的差异大得多，就认为因素A对指标有显著影响，否则，认为无显著影响。为此，可将总偏差中的这两种差异分开，然后进行比较。

记

则有下面的定理：

定理1(平方和分解定理)令，有

表示在水平下样本值与样本均值之间的差异，它是由随机误差引起的，称为误差平方和或组内平方和。反映在每个水平下的样本均值与样本总均值的差异，它是由因素A取不同水平引起的，称为因素A的效应平方和或组间平方和，式就是我们所需要的平方和分解式^[2]。

如果成立，则所有的都服从正态分布，且相互独立，则有：

定理2

(1)，且，所以为的无偏估计；

(2)，且，因此为的无偏估计；

(3)与相互独立；

(4)。