三角形中位线

三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

三角形的中位线

证明　　如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。

求证DE平行且等于BC/2

法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。

∵CF∥AD

∴∠A=∠ACF

∵AE=CE、∠AED=∠CEF

∴△ADE≌△CFE

∴AD=CF

∵D为AB中点

∴AD=BD

∴BD=CF

∴BCFD是平行四边形

∴DF∥BC且DF=BC

∴DE=BC/2

∴三角形的中位线定理成立.

法二：利用相似证

∵D，E分别是AB，AC两边中点

∴AD=AB/2 AE=AC/2

∴AD/AE=AB/AC

又∵∠A=∠A

∴△ADE∽△ABC

∴DE/BC=AD/AB=1/2

∴∠ADE=∠ABC

∴DF∥BC且DE=BC/2

法三：坐标法：

设三角形三点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)

则一条边长为 :根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2

另两边中点为((x1+x3)/2，(y1+y3)/2)，和((x2+x3)/2，(y2+y3)/2)

这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2

最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半

逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。

逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

【证法①】

取AC中点G ，联结DG

则DG是三角形ABC的中位线

∴DG∥BC

又∵DE∥BC

∴DG和DE重合（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）

图形

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