伽罗瓦扩张

给定有限的域扩张L/K。L/K是伽罗瓦扩张，当且仅当它满足以下三个相互等价的条件中的任何一个：

L/K是可分的正规扩张。

L是某个以K中元素为系数的多项式在K的分裂域，而且该多项式在此分裂域中没有重根。

[L : K] = |Aut(L/K)|。域扩张L/K的次数，等于其上的自同构群Aut(L/K)的阶数（群元素的个数）。

Aut(L/K)的不变域，即，是K。

给定域扩张，其中的θ = ³√2是2的三次方根，ω = e^2iπ⁄₃是三次单位根。是多项式P = X³ - 2在有理数域上的分裂域，而且它在其中没有重根，所以是伽罗瓦扩张。它的扩张次数是6，而它的自同构群元素有六个，同构于3次对称群。有关其具体结构，可参见伽罗瓦理论基本定理。

如果域扩张基域的特征为0，那么所有代数扩张都是可分扩张，这时所有的正规扩张都是伽罗瓦扩张。

如果域扩张L/K是伽罗瓦扩张，则中间扩张K⊂F⊂L中，L/F也是伽罗瓦扩张。

域K的代数闭包K^alg是K的伽罗瓦扩张，当且仅当K是完美域。