特征子空间

方阵的属于特征值的特征向量是齐次线性方程组即的非零解。此方程组的解集是的子空间，称为的属于特征值的特征子空间。

线性空间上线性变换的属于特征值：的全体特征向量与零向量构成的集合。

是的子空间，称为的属于特征值的特征子空间。

只要求出了特征子空间的的一组基，基向量的全体非零线性组合就是全体特征向量。

同一线性变换(或方阵)的属于不同特征值的特征子空间之和是直和，属于不同特征值的特征向量线性无关。^[2]

上线性变换如果在某组基下的矩阵是对角阵，就称可对角化。

在基M下的矩阵是对角阵M的向量全部是的特征向量各特征子空间的直和等于。

方阵如果相似于对角阵，就称可对角化。

是对角阵P的各列是的特征向量：。

可对角化在任何一组基下的矩阵可对角化。^[2]

设是方阵A的全部不同的特征值，每个特征值在特征多项式中的重数称为的代数重数，特征子空间的维数称为几何重数，每个特征值的几何重数≥1且≤代数重数。

可对角化所有的特征值的几何重数等于代数重数。

特殊情形：如果n阶方阵有n个不同的特征值，则每个特征值的代数重数和几何重数都等于1，可对角化。^[2]

设的线性变换将中每个方阵送到它的转置。求的特征值和特征向量，是否可对角化?

解对任意有，可见是上的恒等变换，的属于每个特征值的特征向量满足从而，将代入得，从而。

是的属于特征值1的特征向量且是非零对称方阵。

是的属于特征值-1的特征向量且是非零斜对称方阵。

存在一组由特征向量组成的基：

在这组基下的矩阵是对角阵。^[2]