两平面平行

两平面平行是两平面间的一种位置关系，如果两个平面没有公共点，我们说这两个平面互相平行，一个平面称为另一个平面的平行平面。

定理1两平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

定理2如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

定理3一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面^[1]。

例如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：

(1)AP⊥MN；

(2)平面MNP∥平面A1BD。

图1

证明(1)连结BC1，B1C，则B1C⊥BC1，BC1是AP在面BB1C1C上的射影，

∴　AP⊥B1C.

又B1C∥MN，

∴　AP⊥MN.

(2)连结B1D1.

∵　P，N分别是D1C1，B1C1的中点，

∴　PN∥B1D1.又B1D1∥BD，

∴　PN∥BD.

又PN不在平面A1BD上，

∴　PN∥平面A1BD.

同理，MN∥平面A1BD.

又PN∩MN=N，

∴　平面PMN∥平面A1BD。

说明将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略.解决这类问题关键在于选择或添加适当的平面或线。由于M，N，P都为中点，故添加B1C，BC1作为联系的桥梁^[1]。

设两平面的方程分别为

其法线向量分别为和。

两平面平行的充要条件：

即

用分量来表示为：

亦即

或

若，即，则平面的方程为：

即：

与平面β的方程一致，所以两平面重合，由此我们看出：

两平面平行的充要条件是

两平面重合的充要条件是

两平面相交

即不平行，即

这时两平面相交时所得直线的方程可用方程组

来表示^[2]。

图2

为了确定起见，规定两平面组成的二面角中，不大于直角的为两平面的交角，记作θ，如图2，所成的夹角θ就是两法线向量的夹角θ，即(图1)，且^[2]

特别地，当时，， 故又可以得两平面互相垂直的充要条件为