洛伦兹力

亨德里克·洛伦兹

1892年，荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹提出洛伦兹力的概念。但是，在洛伦兹之前，就已经有发掘出洛伦兹力方程的形式，特别是在詹姆斯·麦克斯韦的1861年论文《论物理力线》里的公式（77）：

、

、

；

其中，、、分别为电场的三个分量，是磁导率，、、分别为导电体的移动速度的三个分量，、、分别为磁场强度的三个分量，、、分别为磁矢势的三个分量，是电势。

后来，在他的1864年论文《电磁场的动力学理论》里，麦克斯韦将这公式列为麦克斯韦方程组的八个原本方程中的方程（D）:

；

其中，是速度，是磁场强度，是磁导率，是磁矢势，是电势。

很明显地，麦克斯韦版是现代版的前导。两个版本的差别为：

麦克斯韦版并没有特意地提到电荷。麦克斯韦称物理量为电动力（electromotive force）。这英文原文与电动势的英文原文相同。很多物理学家都对英文原文表示意见，认为会造成困惑，是个相当不精确的术语。从方程形式和单位分析方面来看，这物理量对应于现代的物理量单位电荷的洛伦兹力。

麦克斯韦版包含有现在称为电场的项目，以电势和磁矢势来表达：

。

取旋度于这表达式，就可以得到法拉第-麦克斯韦方程：

。

因此，这表达式等价于法拉第-麦克斯韦方程。尽管洛伦兹力方程来自于原本的一条麦克斯韦方程，现在，经过奥利弗·亥维赛重新表述后的洛伦兹力方程，不再被视为麦克斯韦方程组中的一员，而成为伴随麦克斯韦方程组的一条独立基要的定律。

当麦克斯韦方程组描绘带电粒子怎样产生电磁场的同时，洛伦兹力方程描绘了移动于电磁场的带电粒子所感受到的电磁力。这使得整个电磁动力的图画得以完整。在一个复杂的物理系统里，带电粒子可能还会感受到别种作用力，像万有引力或核力。麦克斯韦方程组并非与这些作用力完全无关；而是通过带电粒子或电流密度与这些作用力耦合。

对于实际的物质，在原则上和计算的复杂 程度上，洛伦兹力方程都不足以描述一群粒子的物理行为。在物质介质里的带电粒子，必须同时地响应和生成电磁场。除此以外，还必须考虑到描述这一群粒子的运动的传输方程，例如，玻尔兹曼传输方程（Boltzmann equation）、佛克耳-普朗克方程（Fokker–Planck equation）、纳维-斯托克斯方程、等等。请参阅磁流体力学、超导现象、恒星演化、等等。在这些学术领域研究的科学家必须解析复杂的传输方程，求得带电粒子在时间和空间方面的响应。

或许有些读者会认为这些理论只是靠着近似来处理一个大系综的带电粒子。从更深的层面来看，带电粒子也会对非电磁力，像万有引力，核力或边界条件等等，产生响应。

给予作用于粒子的洛伦兹力的公式，将这公式代入牛顿第二运动定律，可以得到粒子的运动方程。解析这运动方程，就可以找到粒子的运动轨道。

概述图片

在一个简单的回旋加速器内，均匀磁场是，电场是零。那么，运动于xy-平面的带电粒子所感受到的洛伦兹力为

。

将这公式代入牛顿第二运动定律，

；

其中，是带电粒子的质量，是带电粒子的加速度。

由于带电粒子的加速度与速度互相垂直，带电粒子呈圆周运动。假设粒子带有正电荷，则这公式的一般解答为

；

其中，是带电粒子的圆周运动轨道，是圆周半径，是旋转角速度，是时间。

移动于朝着正上方的均匀磁场，负电荷的等速螺旋运动轨道。

朝着均匀磁场方向看，带电粒子会以反时针方向，呈匀速圆周运动。给予初始速率。那么，圆周半径为

。

这圆周半径称为回旋半径（cyclotron radius）或拉莫半径（Larmor radius）。称为回旋频率（cyclotron frequency）。

带电粒子的动量为

。

假设粒子带有负电荷，则运动方向会逆反，改为顺时针方向。

假设初始速度有一个z-分量，则带电粒子会呈等速螺旋运动。

概述图片

对于很多有意思的、比较复杂的实际案例，在磁场内运动的带电粒子（例如，等离子体的电子或离子），可以分为两部分处理。这两部分的叠加，足以描述这带电粒子的物理行为。第一部分是速度比较快的，环绕着某一点的圆周运动。环绕之点称为导向中心（guiding center）。另一部分是导向中心的漂移运动。其速度比较慢，会因不同种类的粒子而不同，又跟其电荷量、质量或温度有关。不同的漂移速度可能会造成电流或化学分离。

许多经典电磁学教科书会用洛伦兹力定律来定义电场和磁场。

假设检验电荷静止不动，，则洛伦兹力方程变为

。

采用国际单位制，假设检验电荷的电量为1库仑，作用于检验电荷的劳伦兹力为1牛顿，则检验电荷感受到的电场为1牛顿／库仑。

假设电场为零，则作用于电荷的洛伦兹力是

。

对于一条线电荷密度为的载流导线，总作用力为

；

其中，是积分路径，是电流矢量。

假设电流是稳定电流，则可以将电流从积分内提出，用矢量来表示电流的方向：

。

这公式给出了，在磁场内，载流导线感受到的磁场力。

使用这公式和毕奥-萨伐尔定律，就可以推导出安培力定律（详尽细节，请参阅安培力定律）。

假设，磁场是均匀磁场，积分路径是垂直于磁场的直线，则

；

其中，是积分路径的长度，

采用国际单位制，假设检验电流为1安培，作用于载流导线的单位长度的洛伦兹力为1牛顿/米，则检验电流感受到的磁场为1特斯拉。

从阴极发射出来的电子束，在阴极和阳极间的高电压作用下，轰击到长条形的荧光屏上激发出荧光，可以在示波器上显示出电子束运动的径迹．实验表明，在没有外磁场时，电子束是沿直线前进的．如果把射线管放在蹄形磁铁的两极间，荧光屏上显示的电子束运动的径迹就发生了弯曲．这表明，运动电荷确实受到了磁场的作用力，这个力通常叫做洛伦兹力，它为荷兰物理学家H.A.洛伦兹首先提出，故得名。

认为一切物质分子都含有电子，阴极射线的粒子就是电子。洛伦兹把以太与物质的相互作用归结为以太与电子的相互作用。这一理论成功地解释了塞曼效应，与塞曼一起获1902年诺贝尔物理学奖。

洛伦兹是经典电子论的创立者．他认为电具有“原子性”，电的本身是由微小的实体组成的．后来这些微小实体被称为电子．洛伦兹以电子概念为基础来解释物质的电性质．从电子论推导出运动电荷在磁场中要受到力的作用，即洛伦兹力．他把物体的发光解释为原子内部电子的振动产生的．这样当光源放在磁场中时，光源的原子内电子的振动将发生改变，使电子的振动频率增大或减小，导致光谱线的增宽或分裂．1896年10月，洛伦兹的学生塞曼发现，在强磁场中钠光谱的D线有明显的增宽，即产生塞曼效应，证实了洛伦兹的预言．塞曼和洛伦兹共同获得1902年诺贝尔物理学奖．

1904年，洛伦兹证明，当把麦克斯韦的电磁场方程组用伽利略变换从一个参考系变换到另一个参考系时，真空中的光速将不是一个不变的量，从而导致对不同惯性参考系的观察者来说，麦克斯韦方程及各种电磁效应可能是不同的．为了解决这个问题，洛伦兹提出了另一种变换公式，即洛伦兹变换。后来，爱因斯坦把洛伦兹变换用于力学关系式，创立了狭义相对论．

1.在国际单位制中，洛仑兹力的单位是牛顿，符号是N。

2.洛伦兹力方向总与运动方向垂直。

3.洛伦兹力永远不做功。（有束缚时，洛仑兹力的分力可以做功，但其总功一定为0。）

4.洛伦兹力不改变运动电荷的速率和动能，只能改变电荷的运动方向使之偏转。

（鉴于网上有关于4的提问，于是在此证明：因为洛伦兹力总与运动方向垂直，因此洛伦兹力的做功是0，根据动能定理有：

所以vo=vt，因为速度与力不共线，因此会做曲线运动，若路径经过匀强磁场，则可知洛伦兹力提供向心力，电子做圆周运动。

概述图册

许多发电机的基本运作原理涉及动生电动势概念。将导线移动于磁场，则会产生电动势，称为动生电动势。如图右，假设一条长度为的细直导线，以速度移动于磁场。磁场以箭尾或叉叉表示，方向由银幕外部指入银幕。思考在这导线内的电荷，根据洛伦兹定律，会感受到洛伦兹力：

。

在这里，洛伦兹力也是磁场力。因为这磁场力的作用，正电荷会往导线的上端移动，负电荷会往导线的下端移动。在稳定平衡状态，这会感应出一个电场：

。

电动势定义为造成开路电路的两个终端的电势差，对于每单位电荷所需做的功。所以，动生电动势为

。

在这个例子里，稳定平衡状态时的电流等于零。假设载流导线与其他原件连结成一个电路，则会因为动生电动势而产生电流。例如，将一个电阻与导线的两端相连结，则流过电阻的电流为

。

概述图片

概述图片

法拉第电磁感应定律阐明，穿过任意闭回路的磁通量的变化率，与这回路的电动势成正比：

；

其中，是电动势，是磁通量，是时间。

在时间通过任意曲面的磁通量定义为

；

其中，是位置，是微小面元素。

给予一个以常速度移动于磁场的闭回路。那么，磁通量对于时间的全微分是

；

其中，是边缘为的曲面，是包括、和的闭曲面，是边缘和形成的边缘曲面。

根据散度定理和高斯磁定律，

；

其中，是闭曲面包含的空间，是微小体元素。

通过边缘曲面的磁通量可以改变成一个线积分：

。

所以，磁通量对于时间的全导数，或磁通量的变化率为

。

运动于移动的闭回路的一个电荷的速度为

；

其中，是相对于闭回路的电荷运动速度，是闭回路的移动速度。

这电荷会感受到洛伦兹力

；

电动势定义为

。

根据法拉第电磁感应定律，

。

在计算积分时，闭回路的微小线元素与正在那位置的电荷的平行。所以，

。

令两个磁通量变化率的方程相等，除去同有的移动的闭回路项目，则可得到

。

应用斯托克斯定理，，可以得到

。

由于是任意取面，可以将被积式从积分中取出：

。

这是麦克斯韦-法拉第方程。由于这方程的右手边是个对于时间的偏导数项目，只涉及固定的闭回路，不能用来计算移动中的闭回路。

用麦克斯韦-法拉第方程，通常对于时间的偏导数的诠释只限制为固定边界。而在另一方面，不论导线的闭回路是刚硬固定的、是在运动中、是在形变过程中，不论磁场是不含时的或含时的，法拉第电磁感应定律都成立。但是，对于某些案例，法拉第电磁感应定律并不适用或使用起来很困难。这时候，必须使用洛伦兹力定律。详尽细节，请参阅法拉第电磁感应定律不适用案例。

假设闭回路移动于不含时间的磁场，通过闭回路的磁通量会因为几种因素而改变：例如，假若磁场随着位置改变，闭回路移动至不同磁场的位置，则磁通量会改变。或者，假若相对于磁场，闭回路的定向改变，由于微小元素的改变，磁通量也会改变。再举一个例子，假若闭回路扫掠过一个均匀的不含时磁场，由于闭回路的形变，磁通量会改变。对于这三个案例，法拉第电磁感应定律正确地计算出磁通量变化率所产生的电动势。

对比前面所述状况，假设固定的闭回路处于含时磁场，麦克斯韦-法拉第方程会显示出一个非保守性的电场产生于闭回路，靠着洛伦兹力的项目，驱使载电粒子移动于导线。这状况也会改变磁通量，法拉第电磁感应定律也会正确地计算出磁通量变化率所产生的电动势。

根据亥姆霍兹分解（Helmholtz decomposition），电场和磁场可以用电势和磁矢势来表达：

、

。

将这两个公式代入洛伦兹力方程，则可得到

。

定义粒子的四维速度为

；

其中，是洛伦兹因子，是光速，是粒子的速度矢量。

定义电磁场张量为

；

其中，是电场矢量，是磁场矢量。

结合牛顿运动定律与洛伦兹力定律在一起，以电磁场张量写为反变形式（contravariant form）：

；

其中，是四维动量，是粒子的固有时。

应用洛伦兹变换，电磁场张量可以从一个参考系转换到另一个参考系：

；

其中，和是洛伦兹变换矩阵。

换另一种方法，定义四维势为

；

其中，是电势，是磁矢势。

定义四维坐标 为

。

那么，电磁场张量为

。

从洛伦兹力方程的张量形式计算矢量形式

先计算四维力（four-force）的分量（x-分量）：

。

将电磁场张量的分量代入，可以得到

。

再将四维速度的分量代入，则会得到

。

类似地，可以计算出四维力的和分量。所以，

。

中学物理教科书中定义的洛仑兹力与大学电动力学教科书中定义的洛仑兹力不同。

中学教科书的洛仑兹力只包括磁场部分，因受力方向与运动方向垂直，故不做功，只改变运动方向。

大学电动力学教科书中定义的洛仑兹力是所有的电磁力，既包括磁场部分，也包括电场部分，电场部分当然有可能做功。

这个小区别若不注意，会在讨论中引起一些误会。

将左手掌摊平，让磁感线穿过手掌心，四指表示正电荷运动方向，则和四指垂直的大拇指所指方向即为洛伦兹力的方向。但须注意，运动电荷是正的，大拇指的指向即为洛伦兹力的方向。反之，如果运动电荷是负的，仍用四指表示电荷运动方向，那么大拇指的指向的反方向为洛伦兹力方向。

另一种对负电荷应用左手定则的方法是认为负电荷相当于反向运动的正电荷，用四指表示负电荷运动的反方向，那么大拇指的指向就是洛伦兹力方向。

概括图册(5)