曲线系

定义：具有某种共同性质的所有曲线的集合，称为一个曲线系，并用含有一个参数的方程来表示。

曲线系方程的特征：对于x,y的二元方程，如果在方程中除x,y外，还至少含有一个暂不确定的常数，这样的方程叫曲线系方程。

概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。它的方程称直线系方程。几种常见的直线系方程：

（1）过已知点P（x ，y ）的直线系方程y－y =k（x－x ）（k为参数）

（2）斜率为k的直线系方程y=kx+b（b是参数）

（3）与已知直线Ax+By+C=0平行的直线系方程Ax+By+λ=0（λ为参数）

（4）与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程Bx－Ay+λ=0（λ为参数）

（5）过直线l ：A x+B y+C =0与l ：A x+B y+C =0的交点的直线系方程：

A x+B y+C +λ（A x+B y+C ）=0（λ为参数）

概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。

几种常见的圆系方程：

（1）同心圆系：（x－x ）+（y－y ）=r，x 、y 为常数，r为参数。

（2）过两已知圆C ：f （x，y）=x+y+D x+E y+F =0。

和C ：f （x，y）=x+y+D x+E y+F =0的交点的圆系方程为：

x+y+D x+E y+F +λ（x+y+D x+E y+F ）=0（λ≠－1）

若λ=－1时，变为（D －D ）x+（E －E ）y+F －F =0，

则表示过两圆的交点的直线。

其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时，此直线表示与两圆连心线垂直的直线。

（3）过直线与圆交点的圆系方程：

设直线L：Ax+By+C=0与圆C：x+y+Dx+Ey+F=0相交，则过直线L与圆C交点的圆系方程为x+y+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0。

概念：具有某种共同属性的椭圆或双曲线的集合，称为椭圆系或双曲线系。

几种常见的椭圆系或双曲线系方程：

（1）x^2/(c^2+t)+y^2/t=1（半焦距为c且c≠0），当t>0时，表示共焦点(±c,0)的椭圆系；当-c^2<t<0时，表示共焦点(±c,0)的双曲线系，其他情况无轨迹。

（2）与椭圆或双曲线x^2/a^2±y^2/b^2=1具有相同离心率的椭圆系或双曲线系方程为x^2/a^2±y^2/b^2=λ（λ>0）。

（3）与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a^2>b^2)共焦点的曲线系方程可设为x^2/(a^2-λ)+y^2/(b^2-λ)，当λ<b^2时，方程表示与以上椭圆共焦点的椭圆系，当b^2<λ<a^2时，方程表示与以上椭圆共焦点的双曲线系。

（4）渐近线方程为x/a±y/b=1或y=±(b/a)x的双曲线系可设为x^2/a^2-y^2/b^2=λ（λ≠0）。