友矩阵

设

是数域F上的首项为1的多项式，则n阶矩阵：

称为多项式f(t)的友矩阵（或伴侣矩阵），方阵的有理标准形就是由友矩阵块构成的分块对角矩阵，而有理标准形在应用上以及理论推导中，都有较大的作用。^[1]

每一个首1多项式既是它的友矩阵的最小多项式，又是它的友矩阵的特征多项式。

如的极小多项式的次数为n，那么与每一个特征值对应的最大的Jordan块就是与每一个特征值对应的唯一的Jordan块．这样的矩阵是无损的，特别地，每一个友矩阵都是无损的，当然，不一定每个无损的矩阵都是友矩阵，但是A与A的特征多项式的友矩阵C有同样的Jordan标准型(与每一个不同的特征值对应的只有一个分块，所以A与C相似。^[2]

设C为多项式p(x)的友矩阵，是C的特征值，则

是C的对应于的特征向量。

n阶复数矩阵A相似于它的特征多项式的友钜阵，当日仅当A的最小多项式与特征多项式相同。^[3]

设有极小多项式以及特征多项式，则下面诸结论等价：

(a)的次数为n；

(b)=；

(c)A是无损的；

(d)与P^(t)的友矩阵相似。^[2]