lipschitz条件

对于在实数集的子集的函数，若存在常数，使得，则称符合利普希茨条件，对于最小的常数称为的利普希茨常数。若，称为收缩映射。

利普希茨条件也可对任意度量空间的函数定义：

给定两个度量空间，。若对于函数，存在常数使得

则说它符合利普希茨条件。

若存在使得

则称为双李普希茨(bi-Lipschitz)的。^[1]

若已知有界，符合利普希茨条件，则微分方程初值问题刚好有一个解。

在应用上，通常属于一有界闭区间（如）。于是必有界，故有唯一解。

符合利普希茨条件，。

不符合利普希茨条件，当。

定义在所有实数值的符合利普希茨条件，。

符合利普希茨条件，。由此可见符合利普希茨条件的函数未必可微。

不符合利普希茨条件，。不过，它符合赫尔德条件。

当且仅当处处可微函数f的一次导函数有界，f符利普希茨条件。这是中值定理的结果。所有函数都是局部利普希茨的，因为局部紧致空间的连续函数必定有界。^[2]

符合利普希茨条件的函数一致连续，也连续。

bi-Lipschitz函数是单射的。

Rademacher定理：若且为开集，符利普希茨条件，则f几乎处处可微。

Kirszbraun定理：给定两个希尔伯特空间，符合利普希茨条件，则存在符合利普希茨条件的，使得的利普希茨常数和的相同，且。^[2]