狄拉克δ函数

δ函数的图形通常可以视为整条x轴和正y轴。虽然称为函数，但δ函数并非真正的函数，至少它的值域不在实数以内。例如，f(x) = δ(x)和g(x) = 0这两个数学对象除了在x = 0以外都有相同的值，但其积分却不相同。根据勒贝格积分理论，若f和g为函数，使得f = g几乎处处成立，则f可积当且仅当g可积且f和g的积分相同。要严谨处理δ函数，须用到测度论或分布。

δ函数可以代表一个既高又窄的尖峰函数（脉冲），用以描述点电荷和质点等抽象化的概念。举例来说，要描述球杆击球的动力学问题，可以用δ函数描述击球那一刻的力。不但各种方程会因此简化，而且只需球杆传递的总冲量就能算出球击出后的运动，而不须考虑球杆向球传递能量的复杂具体情况。

在应用数学中，δ函数往往能看作是某函数序列的极限（弱极限），该序列中的每一项都在原点处有一个尖峰，例如以零为中心、方差趋向零的高斯分布序列。

约瑟夫·傅里叶在他的《热分析理论》（法语：Théorie analytique de la chaleur）中呈现了以下的方程，今天称为傅里叶积分定理：

这相等于以这种方式引入了δ函数：

之后，奥古斯丁·路易·柯西用指数函数表达了这一定理：

柯西指出，在某些情况下，积分的计算顺序会影响计算结果。

分布理论允许重新排列柯西方程，使它更接近以上傅里叶的方程：

其中δ函数可表达为：

在接下来的几个世纪，数学家才逐渐理解这一指数形式的严谨含义，以及方程中的函数f所需的条件。用旧有的数学观念来理解，会有以下的问题：

经典傅里叶变换的最大缺点在于，能够有效计算的只有很狭窄的一类函数。这些函数必须（在无限的邻域内）足够快地降至零，才能保证傅里叶积分值的存在。例如，连多项式这种如此简单的函数，也不存在经典意义上的傅里叶变换。经典傅里叶变换扩展至分布，大大增加了能够进行变换的函数类型，移除了诸多障碍。

之后，米歇尔·普朗歇尔（Michel Plancherel）开创性的L2理论（1910年）、诺伯特·维纳和萨洛蒙·博赫纳（Salomon Bochner）的贡献（1930年前后）以及最后洛朗·施瓦茨归纳这一切的分布理论（1945年）进一步推广了傅里叶积分，并建立了狄拉克δ函数的严格定义。

1827年，柯西首次明确写下一个无限高的单位脉冲函数（柯西分布的无限小版本）。西莫恩·德尼·泊松和古斯塔夫·基尔霍夫之后在研究波传播的时候，考虑过这一函数。基尔霍夫与赫尔曼·冯·亥姆霍兹将单位脉冲描述为高斯分布的极限，这也符合开尔文勋爵对点热源的描述。19世纪末，奥利弗·亥维赛利用形式上的傅里叶级数对单位脉冲进行操作。1930年，保罗·狄拉克在影响深远的《量子力学原理》中引入了δ函数作为一种“方便的记号”，故此该函数今天以他命名。

笼统地来说，δ函数是在实数线上的一个函数，在原点上无限，在所有其他点上为零，

并同时满足以下条件

这只是一个概略的表述：δ函数并不是一个严格意义上的函数，没有任何定义在实数线上的函数能满足以上的条件。更严谨地来说，δ函数可以定义为分布或测度。

测度是其中一种严谨定义δ函数的方法。作为一个测度，δ函数取一个实线R的子集A，当0 ∈ A时输出δ(A) = 1，否则δ(A) = 0。如果把δ函数想象成位于0的一个理想化的质点，则δ(A)代表集合A所包含的质量。一个函数相对于δ的积分便可以定义为相对于这个测度的勒贝格积分。对于所有连续紧支撑函数f，这一积分满足：

测度δ相对于勒贝格测度不绝对连续，它其实是一个奇异测度。因此，它并不具有拉东-尼科迪姆导数，也就是不存在满足以下条件的函数δ：

虽然这种写法仍非常常见，但是它实际上只是一种方便的记号，而不是任何有良好定义的（黎曼或勒贝格）积分。

作为R上的概率测度，狄拉克测度可以通过它的累积分布函数──单位阶跃函数──来定义：

换句话说，H(x)是积累指示函数1(−∞, x]相对于测度δ的积分：

δ函数相对于一个连续函数的积分可以通过黎曼－斯蒂尔杰斯积分严格定义：

δ函数的所有更高矩都是零。其特征函数和矩母函数都等于1。

在分布理论中，一个广义函数并不像普通函数一样直接定义，而是在它相对其他函数积分的时候，以它如何影响这一积分来定义。沿着这条思路，只须定义δ函数相对某个足够“良好”的测试函数的“积分”就足够了。如果δ函数已经定义为测度，则这种积分可以是测试函数相对于这δ测度的勒贝格积分。

测试函数空间一般可包括所有R上的紧支撑光滑函数。作为一个分布，δ函数是在测试函数空间上的线性泛函，定义为

对于所有测试函数φ。

若要使δ成为一个正式的分布，它必须要在测试函数空间上相对某个合适拓扑为连续的。在测试函数空间上的线性泛函S要能够良好定义一个分布，其必要和充分条件是，对于每个正整数N，有整数MN和常数CN，使得对每个测试函数φ，以下不等式都成立：

当S就是δ分布时，CN = 1，MN = 0对于所有N，就能满足这条不等式。因此，δ是级数为零的分布。它也是一个紧支撑分布，其支撑集是{0}。

δ分布有几种等价的定义。例如，它是亥维赛阶跃函数的分布导数，也就是说，对于任何测试函数φ，

直观而言，如果允许分部积分法，以上的积分就会简化为

斯蒂尔杰斯积分的确有一种分部积分法，可如下表示：

在测度论中，狄拉克测度通过积分产生分布。相反，公式(1)在所有紧支撑连续函数φ空间上定义了一个Daniell积分，且根据里斯表示定理，该积分可以表示为φ相对于某拉东测度的勒贝格积分。

当讲到“狄拉克δ函数”时，一般指的是分布，而不是测度。因此一些文献也会称之为“狄拉克δ分布”。测度论中相对应的概念则称为狄拉克测度。

在n维欧几里得空间Rn中，狄拉克δ函数可以定义为一个测度，使得对于所有紧支撑连续函数f，满足

作为一个测度，n维δ函数是每个独立变量的1维δ函数的积测度。也就是说，若x = (x1, x2, ..., xn)，则

上文的1维δ分布也存在n维推广。尽管在物理学和工程学中应用广泛，公式(2)还是必须小心使用，因为多个分布的积只有在较狭窄的条件下才有良好的定义。

狄拉克测度这个概念可以定义在任何集合上。设X是集合，x0 ∈ X，Σ为X子集上的任何σ-代数，则对每个集合A ∈ Σ可以定义测度：

这就是单位质量集中在x0处的狄拉克测度。

δ函数也可以推广至微分流形，由于具有微分结构，因此能保留它作为分布的一些性质。流形M上以x0 ∈ M为中心的δ函数可定义为以下分布：

对于所有M上的紧支撑光滑实数值函数φ。一个常见的特殊情况是，M是欧几里得空间Rn中的一个开集。

在局部紧豪斯多夫空间X中，集中在点x的狄拉克测度是对应于对紧支撑连续函数φ的Daniell积分(3)的拉东测度。推广到这一层次，已经无法进行普通的微积分，不过仍然可以使用抽象分析中的许多工具。例如，映射是把X嵌入到包含所有在X上的有限拉东测度的空间（具有淡拓扑）的一个连续函数。而且，X在这一嵌入下的值域的凸包，在在X上的概率测度空间中是一个稠密集。

对非零标量α，δ函数有以下缩放性质：

所以

δ函数是一个偶分布，也就是说

因此δ函数属于−1阶齐次函数。

δ和x的分布积等于零：

相反，若xf(x) = xg(x)，其中f和g为分布，则存在常数c使得

延时δ函数的积分为：

因此δ函数有“筛选”或“采样”的功能──可以筛选出函数在t = T的值。

可以推论，函数f(t)与延时δ函数卷积后会受到延时：

	（利用(4)：）

这必须在f是缓增分布的前提下才会成立（见下文关于傅里叶变换的讨论）。以一个特殊情况为例，有恒等式如下（把δ视为分布）

更一般地来说，δ分布可以和光滑函数g(x)复合，使得熟悉的变量更换公式成立：

条件是g为连续可微函数且处处非零。换言之，作为一个分布具有唯一的定义，使得这条恒等式对于一切紧支撑测试函数f都成立。因此，定义域必须切割开来，排除g′ = 0这一点。如果g处处非零，那么此分布满足δ(g(x)) = 0；否则如果g在x0处有一个实数根，则

很自然地，对连续可微函数g，可以把δ(g(x))“定义”为

其中求和跑遍g(x)的所有根，这些根都假设为单根。比如，

δ分布的广义缩放特性，用积分写出：

δ分布在n维空间中的缩放性质如下：

从而δ是一个−n阶齐次分布。δ分布在任何镜射和旋转ρ下不变：

和单变量时一样，可以唯一地定义δ与双利普希茨函数g: Rn → Rn的复合，使得恒等式

对于所有紧支撑函数f成立。

利用几何测度论中的余面积公式，可以定义δ函数与从一个欧几里得空间到另一个不同维度的空间的浸没的复合，所产生的结果是一种流。在连续可微函数g: Rn → R满足g的梯度处处非零的特殊情况下，以下恒等式成立：

其中右边的积分范围是g−1(0)，即g(x) = 0所定义的一个(n − 1)维曲面（依闵可夫斯基容度）。这叫做单层（simple layer）积分。

更一般地来说，若S是Rn中的光滑超曲面，则可以把S联系到在S上对任何紧支撑光滑函数g积分的分布：

其中σ是联系到S的超曲面测度。这种推广与S上的单层位势的位势论相关。设D是Rn中具有光滑边缘S的区域，则δS等于D的指示函数的（分布意义上的）法向导数：

其中n是向外法线。

δ函数属于缓增分布，所以拥有良好定义的傅里叶变换。正式地说，（在一些傅里叶变换惯例下）有

一个分布的傅里叶变换的定义是，在缓增分布与速降函数的对偶配对下，要求傅里叶变换是自伴的。从而，定义为满足以下条件的唯一缓增分布：

对于一切速降函数φ。从此可推导，的确。

这条恒等式意味着，δ函数与任何其他缓增分布S的卷积即等于S：

这意味着，δ是缓增分布上的卷积的单位元。而且，在卷积下的紧支撑分布空间是一个以δ函数为单位元的结合代数。这在信号处理应用中尤其重要，因为与缓增分布的卷积属于线性时不变系统，而基于δ函数的线性时不变系统可以测量该缓增分布的冲激响应。只要对δ作适当的近似，就可以以任意要求的程度算出冲激响应。一旦知道冲激响应，就能完全描述整个系统的特征。详见线性时不变系统理论：冲激响应和卷积。

缓增函数f(ξ) = 1的反傅里叶变换等于δ函数。更正式地表达，

更严谨地来说，有

对于一切速降函数f。

这样，δ函数暗示著在R上的傅里叶核的正交性，即：

换句话说，缓增分布

的傅里叶变换是

这同样可以通过对傅里叶变换要求自伴性而得出。

利用傅里叶变换的解析延拓，可以得出δ函数的拉普拉斯变换：

狄拉克δ分布的分布导数是一个分布δ′，它对于所有紧支撑光滑测试函数φ定义为

此处第一个等号类似于分部积分，因为若δ是个真正的函数，则

δ的k阶导数的定义大同小异，对任何测试函数φ，

从而δ是个无限可微分布。

δ函数的一阶微分是差商

的分布极限。更准确地说，有

其中τh是平移算子，对于函数的定义是τhφ(x) = φ(x + h)，而对于分布S的定义是

在电磁学中，δ函数的一阶导数代表一个位于原点的点磁偶极，因此也称为“偶极”或偶函数。δ函数的导数满足一些基本性质，包括：

这些性质都可以通过对测试函数积分，并运用分部积分法推导而出。

另外，δ′与紧支撑光滑测试函数f的卷积为

这来自卷积的分布导数的性质。

更高维度

更一般地说，在n维欧几里得空间Rn中的开集U上，以点a ∈ U为中心的狄拉克δ分布定义为

对于一切φ ∈ S(U)，其中S(U)是所有U上的紧支撑光滑函数的空间。若α = (α1, ..., αn)是任何多重指标，而∂α表示相关的混合偏导数算子，则δa的α阶导数∂αδa是

对于一切φ ∈ S(U)。也就是说，δa的α阶导数是个分布，它在任何测试函数φ的值等于φ在点a的α阶导数（加上合适的正负号）。

δ函数的一阶偏导数可以视为沿着坐标平面的双层。更一般地来讲，支撑在一个曲面上的单层的法向导数是在该曲面上的双层，并表示一个层磁单极。δ函数的更高阶导数，在物理学里称为多极。

高阶导数很自然地能够建构具有单元素支撑集的分布的完整结构。若S是任何在U上、支撑集为一个点{a}的分布，那么存在整数m和一组系数cα，使得

δ函数可以视为一个函数序列的极限：

其中ηε(x)有时称为初生δ函数。这一极限是个弱极限：对于一切紧支撑连续函数f，有

或者，这个极限对于一切紧支撑光滑函数f都存在。这两种不同的弱收敛模式往往有十分微妙的差异，前者是依测度的淡拓扑收敛，而后者则是分布的收敛。

通常一个初生δ函数ηε可以如下建构。设η是一个R上的总积分为1的绝对可积函数，并定义

在n维当中，改用以下缩放

在简单的变量更换之后，可见ηε的积分同样等于1。不难证明，(5)对于一切连续紧支撑函数f都成立，从而ηε作为一个测度向δ弱收敛。

这样建构的ηε叫做对单位元的近似，因为包含所有绝对可积函数的空间L1(R)在函数卷积这一作用下闭合：f ∗ g ∈ L1(R)，当f和g都属于L1(R)。然而，L1(R)在卷积下并没有单位元：没有任何元素h使得f ∗ h = f对于所有f都成立。但序列ηε仍然能够近似这种单位元，就是说

在平均收敛（即L1中的收敛）下，此极限存在。要确保几乎处处点收敛，还需要对ηε加上更多的前提，比如它必须是对应于一个紧支撑函数的柔化函数。

如果最初的η = η1本身已经是光滑的而且具有紧支撑，那么整个序列就叫做柔化序列。标准柔化序列可以通过选择某个适当归一化的冲激函数η来定义，例如

在数值分析等的一些情况下，以分段线性函数对单位元进行近似会更加有用。可以定义η1是一个三角形函数，然后有

它们全部都是连续的且具有紧支撑，但不是光滑的，从而也不是柔化函数。

在概率论中，很自然地会加入一项额外条件，亦即要求对单位元近似的初始η1是正的，因为这样它就会代表一个概率分布。有时需要和概率分布来卷积的原因是，输出值是输入值的凸组合，因此处于最高与最低输入值之间，从而能够避免过冲或下冲。取η1为任何随意的概率分布，并如上设ηε(x) = η1(x/ε)/ε，就可以取得对单位元的近似。此外，如果η的平均值为0，且更高矩较小，那么序列就会向δ函数收敛得更快。比如，设η1是[−1/2, 1/2]上的均匀分布，即矩形函数，则：

又以维格纳半圆分布举例，

这是连续的，且具有紧支撑，但因为不是光滑的，所以也不是柔化函数。

初生δ函数往往以卷积半群的身份出现。这相等于另加一个条件──ηε与ηδ的卷积必须满足

对于所有ε和δ > 0。L1中形成初生δ函数的卷积半群一定是对单位元的近似（用上式的意思），但半群设下了限制性颇强的条件。

在实践当中，对单位元的半群近似出现在物理学所启发的椭圆型和抛物型偏微分方程中，作为基本解或格林函数。在应用数学中，半群是线性时不变系统的输出。抽象地来说，若A是一个作用在x的函数上的线性算子，则在对初值问题求解时会出现卷积半群：

其中极限同样是弱极限。设ηε(x) = η(ε, x)，得出相关的初生δ函数。

下面将列出若干有物理意义的、在此类基本解中所出现的卷积半群。

热核

热核，定义是

代表的是一条无限长丝在t > 0时的温度，如果在t = 0时在原点处储藏了一个单位的热能。此半群依照一维热传导方程演变：

在概率论中，ηε(x)是一个平均值为0、方差为ε的正态分布。它代表了一个粒子从原点开始，作标准布朗运动，在t = ε这一刻的概率密度函数。在这种情况下，半群条件也就体现了布朗运动的马尔可夫性质。

在高维欧几里得空间Rn中，热核等于

并且在作必要的修改后有着相同的物理解释。而且，当ε → 0，ηε → δ，因此它也代表了一个初生δ函数。

泊松核

泊松核

是拉普拉斯方程在上半平面中的基本解。它代表了一个半无限平板在边缘的电势固定为δ函数时的电势。泊松核也和柯西分布有紧密的联系。半群根据以下方程演变：

其中的算子严谨地定义为傅里叶乘数

在波动力学等物理范畴中，须要解不少双曲型偏微分方程，而这些方程有更多的奇异解。因此，从相关的柯西问题的基本解所产生的初生δ函数，一般都是震荡积分。例如，从穿音速气体动力学的欧拉-特里科米方程的解，取得归一化艾里函数

虽然用的是傅里叶变换，但是不难看到，这从某种意义上产生了一个半群，只不过由于它不是绝对可积的，所以无法从上文更强的意义来定义半群。许多用振荡积分来建构的初生δ函数，只能从分布意义上收敛（见下文的例子狄利克雷核），而不能从测度意义上收敛。

另一个例子是R1+1中的波动方程的柯西问题：

解u代表了一条具有无限弹性的弦，一开始在原点处受到扰动后，距离平衡的位移程度。

其他同类的对单位元的近似还包括，广泛应用于电子和电信中的sinc函数

以及贝塞尔函数

要对线性偏微分方程

求解，其中L是Rn上的一个微分算子，可以先取得基本解，即对以下方程求解：

当L相对简单的时候，通常直接利用傅里叶变换就可以求解（如上文提到的泊松核和热核）。如果算子比较复杂，可以先考虑更简单的方程

其中h是一个平面波函数，意思是对于某矢量ξ，有

这样的方程可以用柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理求解（如果L的系数是解析函数），或者用求积法求解（如果L的系数是常数）。所以，如果δ函数能够分解成平面波的话，理论上就能取得线性偏微分方程的解。

对δ函数进行平面波分解的方法，最早是约翰·拉东（Johann Radon）所发展的一套通用技巧之一，之后由弗瑞兹·约翰进一步发展至这种形式（1955）。选择k，使得n + k是一个偶整数；对于实数s，定义

要取得δ，对g(x · ξ)相对球体测度dω积分，再对积分施用拉普拉斯算子的幂，其中ξ属于单位球面Sn−1：

此处的拉普拉斯算子理解为弱导数，所以上式的意思是，对于任何测试函数φ，

这一结果来自牛顿位势公式（牛顿位势是泊松方程的基本解）。这实际上是拉东变换的逆转公式，因为它能够从φ(x)在超曲面上的积分取回φ(x)的值。例如，若n是奇数，而k = 1，则右边的积分等于

其中Rφ(ξ, p)是φ的拉动变换：

平面波分解的另一个等价表达式是（ Gelfand & Shilov 1966–1968，I, §3.10）

对于偶数n，且

对于奇数n。

在对傅里叶级数的研究当中，一个重要的问题是须要判断，和某周期函数相关的傅里叶级数是否收敛到该函数，以及从何种意义上收敛。周期为2π的函数f的傅里叶级数的第n部分和，定义是与狄利克雷核在区间[−π,π]上的卷积：

因此

其中

傅里叶级数的一个基础结果说明，当N → ∞，狄利克雷核趋向于δ函数的倍数。收敛指的是从分布意义上的收敛，即

对于一切紧支撑光滑函数f。从而，在区间[−π,π]上有

尽管如此，但这并不对所有紧支撑连续函数成立，换言之，DN从测度意义上并不弱收敛。鉴于傅里叶级数无法收敛，因此数学家建立了各种可和性方法来达到收敛。从切萨罗求和法发展出费耶核

费耶核从一种更强的意义向δ函数收敛：

对于一切紧支撑连续函数f。结果是，所有连续函数的傅里叶级数在每一点上都是切萨罗可和的，且和的值等于该函数的值。

狄拉克δ分布是在包含所有平方可积函数的希尔伯特空间L2上所稠密定义的一个无界线性泛函。紧支撑光滑函数在L2中是一个稠密集，且δ分布对于紧支撑光滑函数有良好定义。在许多应用中，可以对L2的某个子空间赋予更强的拓扑，使得δ函数能够定义一个有界线性算子。

索伯列夫空间

索伯列夫嵌入定理应用在实数线R上的索伯列夫空间上时，意味着任何平方可积函数f，只要满足

就必定是连续的，而且满足

从而δ是一个在索伯列夫空间H1上的有界线性泛函。另一个等价的说法是，δ是H1的连续对偶空间H−1的元素。更一般地说，在n维中，有δ ∈ H−s(Rn)，条件是s > n / 2。

全纯函数空间

在复分析中，δ函数出现在柯西积分公式中，公式说明，若D是复平面上一个具有光滑边缘的域，则

对于一切在D的闭包内连续的全纯函数。从而，对于此类全纯函数，δ函数δz可以以柯西积分表示：

更一般地来说，设H2(∂D)是一个哈代空间，它是所有在D中直到D的边缘都是连续的全纯函数，在L2(∂D)中的凸包。H2(∂D)中的函数可以唯一地延续成D上的全纯函数，而且柯西积分公式仍然成立。特别是对于z ∈ D，δ函数δz是一个H2(∂D)上的连续线性泛函。这是多复数变量函数中的特殊情况：对于光滑域D，Szegő核代替了柯西积分的角色。

单位分解

在可分希尔伯特空间中，给定一个由函数{φn}组成的标准正交基（如一个紧自伴算子的归一化特征矢量），那么任何矢量f都可以表达成：

系数{αn}可以如下得出：

也可以写为

这是狄拉克符号的一种。在这种写法下，f以并矢方式展开：

设I是该希尔伯特空间上的恒等算子，则表达式

称为单位分解。当希尔伯特空间是L2(D)，包含所有在域D上的平方可积函数，那么

就是一个积分算子，而f可以重新表达为：

右边的级数是在L2当中向f收敛。就算f是连续函数，点收敛极限也不一定存在。尽管如此，往往可以滥用符号，写

如此来表示δ函数：

在适当的装备希尔伯特空间(Φ, L2(D), Φ*)中，其中Φ ⊂ L2(D)包含所有紧支撑光滑函数，视乎基φn的性质，上方的级数有可能在Φ*中收敛。在大多数实际情况下，标准正交基来自于某个积分或微分算子，这时候级数会从分布的意义上收敛。

1827年柯西在若干论文中写下无限高、无限窄的函数时，用到了一个无限小数α，使得函数δα满足

他（以及拉扎尔·卡诺）把无限小数定义为一个趋向于零的序列。

非标准分析能够严谨地处理无限小数。利用超实数的语言，狄拉克δ函数可以用含有无限小数的延伸实数来表达，详见Yamashita (2007)论文所列出的相关书目。这样定义的δ函数是真正意义上的函数，使得对于每个实函数F，都有

结果与傅里叶和柯西用别的语言所表达的一样。

狄拉克梳子是无限个相距T的δ函数

由一系列狄拉克测度组成的均匀脉冲串叫做狄拉克梳子，亦称Shah分布，是一个采样函数，常用在数字信号处理和离散时间信号分析中。狄拉克梳子是许多单个δ函数的无限和，和的极限是分布意义上的极限：

这可以理解为，在每个整数处都有一个单位质点。

狄拉克梳子是其自身的傅里叶变换（或乘以某个归一常数）。其重要性在于，若f是速降函数，则f在周期化后的结果以以下卷积表示：

特别有，

这正是泊松求和公式。

索霍茨基－魏尔斯特拉斯定理是量子力学中重要的定理，它把δ函数和分布p.v.1/x联系起来，后者是函数1/x的柯西主值，定义是

索霍茨基公式说明，

此处的极限是分布意义上的极限，就是说对于一切紧支撑光滑函数f，