坐标变换公式

设V是域P上n维线性空间，且ε1，ε2，…，εn与ε′1，ε′2，…，ε′n皆是V的基，于是有：

ε′i=ajiεj(i=1，2，…，n).

以ε′i关于基ε1，ε2，…，εn的坐标(a1i，a2i，…，ani)为第i列构成的n阶矩阵(aij)称为由基ε1，ε2，…，εn到基ε′1，ε′2，…，ε′n的过渡矩阵，若α∈V关于基ε1，ε2，…，εn与基ε′1，ε′2，…，ε′n的坐标分别为(x1，x2，…，xn)与(x′1，x′2，…，x′n)，则其两坐标间的关系，可由过渡矩阵(aij)表示为

上式称为坐标变换公式^[1]。

设和是线性空间Vn中的两个基，并且

式(1)可表示为

即

其中

（（2）式中A应为A的转置）式(1)或式(2)称为基变换公式，矩阵A称为由基到基的过渡矩阵。

注意：式(1)中各式的系数实际上是基向量在基下的坐标^[2]。

坐标变换公式及其证明：

定理1设Vn中一向量ξ在两个基和下的坐标分别是和，若两个基满足关系式(2) ，则有坐标变换公式：

或

证明：因为

故由坐标的唯一性,得

或

反之，设是线性空间Vn的一个基，A是n阶可逆矩阵，使得

成立，可以证明:是Vn的n个线性无关的向量,从而也是Vn的一个基^[2]。

证明若数使，

即

因为线性无关，故必有

但A可逆，即|A|≠0，齐次线性方程组AX=0只有零解，必有，线性无关^[2]。