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一致连续

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定义

设函数在区间I上有定义，如果对于，总有，使得对于在区间I上的任意两点，当时，恒有，则称函数在区间I上一致连续。[1]

参数仅与有关，与所选取的任意两点无关，即。

意义

从上述定义中可以看出，当函数在区间I上一致连续时，无论在区间I上的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，总可以使相应的函数值达到预先指定的接近程度。[1]

定理

定理1Cantor定理或一致连续性定理

若函数在上连续，则在上一致连续。

定理2

若函数为上的连续周期函数，则在上一致连续。

定理3

若在有限开区间上严格单调且连续，则其反函数在区间上一致连续。

定理4

设在上连续，若和都存在，则在上一致连续。

定理5

设对于定义在区间I上的函数，，，有

成立，若在I上一致连续，则在I上也一致连续。[2]

性质

1）设函数在区间和上一致连续，若，则在上也一致连续；

2）若函数都在区间I上一致连续，则也在区间I上一致连续；

3）若在有限区间I上一致连续，则在I上有界；

4）若函数都在有限区间I上的有界的一致连续函数，则在区间I上也一致连续；

5）若在定义域I上一致连续，其值域为U，在U上一致连续，则在I上一致连续。[2]

举例

函数在上一致连续。

证明如下：

①任取，由三角函数可知在闭区间上连续，由上述的定理1可知，在上一致连续。

②对于区间，对，取，对，当时，有

即在区间上一致连续。

综上，在上一致连续。

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