伯努利不等式

设x>-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)^n≥1+nx。

证明：

先证明对所有正整数不等式成立。用数学归纳法：

当n=1，上个式子成立，

设对n-1，有：

(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立。

则

(1+x)^n

=(1+x)^(n-1)(1+x)

>=[1+(n-1)x](1+x)

=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2=1+nx+nx^2-x^2

>=1+nx

就是对一切的自然数，当

x>=-1，有

(1+x)^n>=1+nx

下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：

若r ≤0或r ≥ 1，有(1+x)^r ≥ 1 + rx

若0 ≤ r ≤ 1，有(1+x)^r ≤ 1 + rx

这个不等式可以直接通过微分进行证明，方法如下：

如果r=0，1，则结论是显然的

如果r≠0，1，作辅助函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx), 那么f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r, 则f'(x)=0 <==> x=0;

下面分情况讨论：

1. 0 < r < 1，则对于x > 0，f'(x) < 0；对于 − 1 < x < 0，f'(x) > 0。严格递增，因此f(x)在x = 0处取最大值0，故得(1+x)^r ≤ 1+rx。

2. r < 0或r > 1，则对于x > 0，f'(x) > 0；对于 − 1 < x < 0，f'(x) < 0。严格递减，因此f(x)在x = 0处取最小值0，故得(1+x)^r ≥ 1+rx

证毕。

下述不等式从另一边估计：对任意，都有

。

我们知道（），因此这个不等式是平凡的。