可行域

所谓约束集合，就是指所有不等式约束和等式约束的交集。在此集合内所有设计点x都满足全部的约束条件，故又称它为设计可行域，表示为：

其中假设函数和h(x)都是连续的。这样，对于一个约束的优化设计问题，由于约束面的存在而把设计空间划分为两个区域：设计可行域D和非可行域。因而，最优解或可接受设计解只能从可行域内的各点中产生。

显然，若在可行域内不存在设计点，则认为此可行集合是个空集，此时也就得不到一个设计解，问题就可能出于所建立的约束条件与设计要求是相矛盾的。

关于约束可行域D是否为一个凸集，在凸规划理论中证明了：若各个不等约束函数是凸函数和等式约束是线性函数，则D是凸集。但是只要等式约束是非线性的，那么集合D一定是个非凸集^[2]。

【例1】对于一个二维问题，当其约束条件为：

由图1 (a)可见，它是一个在第一象限内的凸集；当约束条件改为：

时，由图1 (b)可见，是一个在第一象限内的非凸集D，因为函数是一凹函数；当约束条件取为等式约束

时，由图1 (c)可见，也是一个非凸集，此时这个集合是在x₁≥0和x₂≥0（第一象限内）上的一段曲线。

图1（a）凸集

图1 （b）非凸集

图1（c）非凸集

值得注意的是，一个约束函数经过变换，虽然表示形式不同但未改变其约束条件的性质，但有时却会影响约束函数的凸性，例如，对于x₁>0和x₂>0，且a和b为正常数，其原约束条件形式为：

可以等价地变换为下面形式（由于x₁和x₂均取正值，故不等式的意义没有改变）：

结果是是凸函数，变换为则是非凸函数，因为它们的Hessian矩阵分别为：

和

式中，为正定矩阵；为不定矩阵。

由此，约束函数通过形式上的变换，结果可能丢失了函数的凸性（或者相反），这也就影响可行域的约束集合的凸性条件。

根据上述可以推知，在n维欧氏空间Rⁿ中，由一组不等式约束函数可以组成一个或几个可行域D。对于仅由一组等式约束所组成的可行域D，如果这组方程的函数是连续且彼此独立的，那么这个可行域D就是一个n-p维的子集。

对于由一组非线性约束函数所定义的可行域，确定它是凸集还是非凸集，一般说来是比较困难的，而且对于一个非凸的集合，往往是造成一个优化设计问题有多个约束极值的重要原因^[2]。