椭圆周长

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历史

椭圆周长的积分表达最早由欧拉提出，经勒让德，高斯，阿贝尔和雅可比等人发展。

对这类问题的讨论引出一门数学分支——椭圆积分与椭圆函数。

以下是几个比较简单的近似公式：

公式一至公式六为一般精度，满足简单计算需要；

公式八为高精度，满足比较专业一些的计算需要。

椭圆周长公式：L=2πb+4（a-b）

椭圆周长级数展开式这些公式均符合椭圆的基本规律,当a=b时，L=2aπ，

一、 L1 =π·qn/ atan(n)

(b→a，q=a+b，n=((a-b)/a))^2

这是根据圆周长和割圆术原理推导的，精度一般。

二、 L2 =π·θ/(π/4)·(a-c+c/sinθ)

(b→0，c=√(a^2-b^2)，θ=acos((a-b)/a)^1.1)

这是根据两对扇形组成椭圆得特点推导的，精度一般。

三、 L3 =π·q(1 +mn)

q=a+b，m=4/π-1，n=((a-b)/a)^3.3)

这是根据圆周长公式推导的，精度一般。

四、 L4 =π·√(2a^2 + 2b^2)·(1 +mn)

m=2√(2/π)-1，n=((a-b)/a)^2.05)

这是根据椭圆a=b时得基本特点推导的，精度一般。

五、 L5 = √(4ab·π^2 + 15(a-b)^2)·(1 +mn)

m=4/√(15)-1 ，n=((a-b)/a)^9 )

这是根据椭圆a=b，c=0时是特点推导的，精度较好。

六、L6= π√[2(a^2+b^2)] (较近似)

七、L7=π[3/2(a+b)-√(ab)] (较精确)

八、L8 =π·q(1 + 3h/(10 + √(4-3h)))·(1 +mn)

q=a+b，h=((a-b)/(a+b))^2，m=22/7π-1，n=((a-b)/a)^33.697)

这是根据椭圆标准公式提炼的，精度很高。

九、一个高精度的椭圆周长初等公式，精确度可由使用者自由控制，点击图片查看。椭圆周长（弧长）涉及第二类椭圆积分，原函数无法以初等函数的形式表达。在Matlab，maple等数学软件中可以直接调用第二类椭圆积分函数求得。建议阅读《特殊函数》，王竹溪，郭敦仁编著；刘式适、刘式达编著版本指明了第二类椭圆积分的几何意义即为椭圆弧长问题。外文文献也很多。

十、精确度最高的椭圆周长公式。首先复制下列字符，把a、b改成你想要的数字，再粘贴到百度计算器高级输入栏按等号即可。该椭圆周长公式精确度约十亿分之一，为世界上不用程序即可计算的精确度最高的公式。当b/a很小时，精确度是公式八的一万倍。当b/a约为0.01时，精确度相当于用程序计算项名达公式1000倍。(该公式发明人周钰承）。

pi*(a+b)*(1+3*((a-b)/(a+b))^2/(10+sqrt(4-3*((a-b)/(a+b))^2))+(4/pi-14/11)*((a-b)/(a+b))^(14.233+13.981*((a-b)/(a+b))^6.42))

例如：若a=4，b=1时，把下式粘贴到百度高级输入栏OK.

pi*(4+1)*(1+3*((4-1)/(4+1))^2/(10+sqrt(4-3*((4-1)/(4+1))^2))+(4/pi-14/11)*((4-1)/(4+1))^(14.233+13.981*((4-1)/(4+1))^6.42))

也可以把公式输入Excel表格，用时只需输入一次a、b的数值，即可直接显示椭圆周长计算结果。